Mathématiques - Décomposition éléments simples

Décomposition éléments simples
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Posted by: Babe

Bonjour,

J'ai une decomposition en élément simple a faire sur R:
$ 3$ \textrm \frac{X^2+1}{X^4+1}$

notre prof passe par C et reviens dans R
1)Comment fait -il a partir des racine complexes pour repasser dans R ?

Dans un livre, j'ai vu qu'il factorise $ X^4+1$ par $ (X^2-sqrt{2}X+1)(X^2+sqrt{2}X+1)$
2) Quel ruse est utilisé pour factorisé comme cela $X^4+1$ alors que les racines sont complexes ?

merci d'avance

Posted by: mathelot

$X^4+1$ ressemble à $X^4+1+2X^2$ qui est un carré parfait.
d'où:
$X^4+1=(X^4+1+2X^2)-2X^2$
et après, c'est fini.

Autre méthode:

sinon le thm de d'Alembert indique que tout polynome
se factorise dans R comme un produit de trinomes.
donc on peut chercher
$X^4+1$ sous la forme d'un produit $(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$
Comme $X^4+1$ est pair et la décomposition est unique,
la paire de coeff $\{a,c \}$ est la même que la paire $\{-a,-c \}$
d'où a=-c parce que a est nécessairement non nul.
On est donc ramené à chercher $X^4+1$ sous la forme
$X^4+1$ sous la forme d'un produit $(X^2+aX+b)(X^2-aX+d)$
ce qui est faisable.
$bd=1$
$a(d-b)=0$
$a^2=b+d$
comme a est non nul, on obtient le résultat.

Posted by: Babe

a ok et tu identifie pour trouver a , -a, b et d ?

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Babe

a ok et tu identifie pour trouver a , c etc.... ?

oui, regarde la fin du post précédent.

Posted by: Babe

et ca marche pour tout les polynome ?
par exemple $X^4+7X+2$ se decompose comme en $(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$ ?

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Babe

a ok et tu identifie pour trouver a , -a, b et d ?

Qu'écris-tu ? si on trouve a , on a immédiatement -a qui est son opposé

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par Babe

et ca marche pour tout les polynome ?
par exemple $X^4+7X+2$ se decompose comme en $(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$ ?

oui , pour les polynomes de degré 4. ça donne une équation du troisième degré que l'on résoud par la méthode de jérome Cardan.

Posted by: Babe

ouai j'ai marqué a, - a etc.. mais j'ai compris , ne pleure pas lol
sinon pr le passage de C a R a tu une explication ?

Posted by: mathelot

j'en reviens à la factorisation du polynome $X^4+1$
par une troisième méthode:
L'équation $X^4=-1$ qui est l'équation aux racines du polynome a une racine évidente car $-1=e^{i\pi}$ :
$x_{0}=e^{i \frac{\pi}{4}}$ . Les autres racines sont donc $ix_{0};-ix_{0}; -x_{0}$ qui sont donc $e^{i \frac{\pi}{4}};e^{i \frac{3\pi}{4}};e^{i \frac{5 \pi}{4}};e^{i \frac{7 \pi}{4}}$
et donc $a= 2 \cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$ .
car $(x-z_{0})(x-\bar{z_{0}})=x^2-2 \Re(z_{0})x+|z_{0}|^2=x^2 - \sqrt{2}x+1$

Posted by: mathelot

euh, voilà, pour la factorisation de C à R, on décompose dans C qui est
algébriquement clos

puis on regroupe deux à deux les facteurs
avec des racines conjuguées, ce qui donne des trinomes à coefficients réels.

Posted by: allomomo

Salut,

D'autres exercices du même type si tu veux t'enrainer ... Ici
Voir intégration, décomposition en éléments simples.

Posted by: Babe

Citation:

Posté par mathelot

j'en reviens à la factorisation du polynome $X^4+1$
par une troisième méthode:
L'équation $X^4=-1$ qui est l'équation aux racines du polynome a une racine évidente car $-1=e^{i\pi}$ :
$x_{0}=e^{i \frac{\pi}{4}}$ . Les autres racines sont donc $ix_{0};-ix_{0}; -x_{0}$ qui sont donc $e^{i \frac{\pi}{4}};e^{i \frac{3\pi}{4}};e^{i \frac{5 \pi}{4}};e^{i \frac{7 \pi}{4}}$
et donc $a= 2 \cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}$ .
car $(x-z_{0})(x-\bar{z_{0}})=x^2-2 \Re(z_{0})x+|z_{0}|^2=x^2 - \sqrt{2}x+1$

J'en revais...mathelot l'a fait !!!!
Merci beaucoup

en faite j'arrivais a ces racines $e^{i \frac{\pi}{4}};e^{i \frac{3\pi}{4}};e^{i \frac{5 \pi}{4}};e^{i \frac{7 \pi}{4}}$ et ne voyait pas comment continuer

encore merci