Décomposer en éléments simples dans C et R

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Posted by: skyskiper

Salut à tous! J'ai de nouveau besoin de votre aide qui, soit-dit en passant, m'ai vraiment super utile!
Bon, voilà mon soucis:
mon prof de TD m'a filer quelques exos à faire sur la décomosition de fractions rationnelles en éléments simples. Seul problème: je ne sais pas encore comment faire! En effet, en cours, nous n'avons pas encore vu la méthode. Et j'ai beau regarder dans mes poly de cours, rien ne m'explique clairement comment procéder...
Si quelqu'un pouvait m'expliquer rapidement la méthode (dans C et dans R) en prenant un exmple, ce serait super gentil!
Pour ceux qui voudrait bien m'aider, voici un sujet d'exemple qui est sensé facile:
->Décomposer dans C en éléments simples le polynôme suivant:
\frac{X^4+X^3-X+1}{X+1}

Merci à tous ceux qui prendront un peu de leur temps pour me répondre!



Posted by: Rain'

Effectue la division euclidienne des polynômes et il ne reste plus qu'à mettre le reste en éléments simples. Ici il n'y a rien à faire c'est déjà sous la bonne forme.

X^3 -1 + 2/(X+1)


Posted by: skyskiper

En gros, je refais une décomposition en éléments simples du reste à chaque fois, jusqu'à que je tombe sur un truck du type: \frac{\alpha}{P} avec P un polynome et \alpha une constante (en oubliant toutes les conditions s'il yen a)
C'est ça?


Posted by: skyskiper

Je vais voir si j'ai bien compris:
Décomposer en éléments simples dans C \frac{X^4}{X^4-1}
Je trouve:
\frac{X^4}{X^4-1}=1+\frac{1}{(X+1)(X-1)(X-i)(X+i)}
C'est juste?
Merci!


Posted by: tize

attention, le \alpha dont tu parles peut aussi être un polynôme ! (de degré inférieur à P)


Posted by: skyskiper

A ok, merci Tize.
Et sinon, ce que j'ai fait plus haut est juste?
++


Posted by: tize

Citation:
Posté par skyskiper
Je vais voir si j'ai bien compris:
Décomposer en éléments simples dans C \frac{X^4}{X^4-1}
Je trouve:
\frac{X^4}{X^4-1}=1+\frac{1}{(X+1)(X-1)(X-i)(X+i)}
C'est juste?
Merci!

non dans C, les elements simple sont : X+1, X-1, ....
tu dois donc trouver des fractions avec X+1, X-1, ... au dénominateur...


Posted by: skyskiper

Alors peut-être?
\frac{X^4}{X^4-1}=1+\frac{1}{(X+1)(X-1)(X^2+1)}
je n'arrive pas à simplifier plus que ça...
++


Posted by: Rain'

non quand tu as quelque chose sous la forme :

a/[(x+1)(x-1)] tu dois le décomposer sous la forme b/(x+1) + c/(x-1)


Posted by: tize

tu dois trouver qqchose du genre :
1+\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+i}+\frac{d}{X-i}
Enfin il me semble...


Posted by: skyskiper

Mais comment on fait pour trouver une somme, alors que là, j'ai un produit?


Posted by: skyskiper

Bon, finalment j'ai réfléchi un peu et j'ai trouvé ça:
\frac{X^4}{X^4-1}=1-\frac{1}{2(X+1)}+\frac{1}{2(X-1)}+\frac{1}{2(X-i)}-\frac{1}{2(X+i)}
C'est juste?

PS: j'ai utiliser un système, il faut procéder comme ça?


Posted by: skyskiper

Mince, je vien de m'apercevoir que c'est faux...
Bon bah je vais réessayer! Si quelqu'un a une méthode a me proposer, je suis prenant!
Merci!










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