Mathématiques - décomposé un entier

décomposé un entier
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Posted by: mt2sr

bonjour
soit n un entier naturel
montrer qu'il existe un unique couple d'enties naturels (t,k) tel que
n=t²+k avec 0<=k<=2t

Posted by: fahr451

bonjour

je doute que cette question soit dans la bonne rubrique

n est compris entre deux carrés consécutifs

il existe un unique t naturel /
t^2 =< n < (t+1)^2 on pose k = n - t^2 on a

0=< k< (t+1)^2 -t^2 = 2t +1 et l'existence ; l'unicité est claire

Posted by: Rain'

le dernier k c'est bien un t ?

Posted by: fahr451

ben oui je corrige merci bien

Posted by: mt2sr

la question est simple il s'agit d'une décompsition d'un entier que j'ai employé pour répondre à l'exercice voici son énoncé:
soit $n \in N$
calculer $\sum_{k=1}^n E(\sqr{k})$
E(x) désigne la partie entière de x

Posted by: mt2sr

bonjour
est-ce que vous avez une réponse à cet exercice?

Posted by: mt2sr

$\sum_{k=1}^{n} E(\sqr{k})=nE(\sqr{n})+\frac{E(\sqr{n})(1-E(\sqr{n}))(5+2E(\sqr{n}))}{6}$
j'espère que j'ai pas comi des érreurs

Posted by: yos

Le résultat a l'air juste. C'est pas mal. Je l'avais calculé pour n=p²-1 uniquement.

Posted by: mt2sr

bonjour
vous avez une dem pour le cas général

Posted by: yos

On doit pouvoir faire ça par récurrence. On a $E(\sqrt n)=E(\sqrt{n+1})$ sauf si n=p²-1. Il s'agit donc de distinguer deux cas.

Posted by: mt2sr

bonjour
il s'agit de calculer et non montrer l'égalité
j'ai procédé sans étude des cas
votre démarche m'interesse pouviez-vous donner une dem détaillé

Posted by: Imod

Bonjour à tous les 2 , rien de mystérieux dans cette formule mais un peu de calcul .

Pour n entier donné , je note $F_k=Int[\sqrt{k}]$ , pour $0<k\leq n$ et $p=F_n$ .

$\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}{Int[\sqrt{k}]=\sum_{k=1}^{n}{F_k}}$

$\displaystyle{S_n=(F_1+F_2+F_3)+(F_4+F_5+F_6+F_7+F _8)+(F_9+F_{10}+...+F_{15})+...+(F_{p^2}+...+F_{p^ 2+q)}$

Avec $q=n-p^2$ et $0\leq q \leq 2p$ .

Comme pour $p^2\leq k \leq (p+1)^2$ , $F_k=p$ :

$S_n=(1+1+1)+(2+2+2+2+2)+(3+...+3)+...+(p+...+p)$

$S_n=1.3+2.5+3.7+...+(p-1).(2p+1)+p.(q+1)$

$\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{p-1}{k(2k+1)}+p(q+1)}$

$\displaystyle{S_n=2\sum_{k=1}^{p-1}{k^2}+\sum_{k=1}^{p-1}{k}+p(n+1-p^2)}$

Il n'y a plus qu'à appliquer les formules donnant $\sum k$ et $\sum k^2$ pour obtenir :

$S_n=np+\frac{p(1-p)(2p+5)}{6}$

Imod

Posted by: Rain'

Elementaire mon cher Watson.

Sinon euh bravo Imod, comme d'hab quoi !

Posted by: mt2sr

bravo imod
c'est la méthode que j'ai utilisé
je vous propose un autre exercice

Posted by: Flodelarab

Quel rapport entre le titre et le problème résolu ?

Posted by: mt2sr

calculer la somme est une application de la décomposition n=t²+k 0<=k<=2t