Mathématiques - Les décimales de Pi suivent-elles la loi de Benford... ?

Les décimales de Pi suivent-elles la loi de Benford... ?
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Posted by: nenex

Bonjour,

je me présente, car je suis nouveau sur le forum, je suis étudiant en première année à l'école des mines d'Alès, et aujourd'hui en cours d'algèbre, notre prof a évoqué la loi de Benford ( présentation sympathique sur ce site ).

Et je me suis demandé si les décimales de notre très cher nombre Pi suivait cette loi ?

Après une brève recherche sur le net, je n'ai rien trouvé d'intéressant !
Je m'en remet à vous.

merci et bonne soirée !

Posted by: Quidam

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Posté par nenex

Bonjour,

je me présente, car je suis nouveau sur le forum, je suis étudiant en première année à l'école des mines d'Alès, et aujourd'hui en cours d'algèbre, notre prof a évoqué la loi de Benford ( présentation sympathique sur ce site ).

Et je me suis demandé si les décimales de notre très cher nombre Pi suivait cette loi ?

Après une brève recherche sur le net, je n'ai rien trouvé d'intéressant !
Je m'en remet à vous.

merci et bonne soirée !

Ce n'est qu'une intuition : mais je pense que les décimales de notre très cher nombre $\Large \pi$ ne suivent pas cette loi. Il me semble au contraire que la fréquence de l'occurence de chacun de nos dix chiffres est sensiblement égale à 0.1, autant qu'on a pu en trouver...
Mais j'avoue que je n'ai pas cherché...

Posted by: nenex

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Posté par Quidam

Peut-être, mais à l'intuition, on pourrai dire aussi que la longueur des fleuves de la chine, les chiffres dans les tableaux de comptabilité...
Suivent aussi une loi d'équiprobabilité !

Enfin c'est ce que j'aurai répondu naïvement hier ...

Posted by: Patastronch

Je comprends pas ta question. Si j'ai bien compris ton article, il faut prendre le chiffre significatif. La loi existe car pour tout x<N et pour N quelconque mais fixé, il ya plus de nombre commencant par un 1, puis ensuite commencant par un 2 ... ce qui est une évidence au fond.
Par exemple si je prend tous les nombre jusqua 20000, plus de la moitié des nombres commencent par un 1.

Quand tu parles de décimal de pi, quel serait alors le chiffre signifiactif de la decimale ? Elle meme ? dans ce cas tu vas te retrouver avec une frequence de 1/10 pour chaque chiffre, la loi décrite par l'article ne s'appliquera pas.

Posted by: Patastronch

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Posté par nenex

C'est le cas, c 'est leur chiffre significatif qui suit la loi pas le nombre en entier.

Posted by: nenex

Il semble que j'ai été emporté par mon enthousiasme....
Je reconnais oui que ...
Tellement idiot de ma part !

Désolé !

Bon ben heuuuuu oups !

Et sur les notes d'une promotion, sur 20 par exemple ?

Aller, j'arrête avec mes questions stupides ! (et je m'en vais réviser de la Thermique )

Bonne soirée !

Posted by: nuage

Salut,
à mon avis la question de départ n'a pas plus de sens que :
la suite 111001 est-elle une suite aléatoire (avec équiprobabilité) de 0 et de 1.
Une fois le tirage au sort effectué il n'y a plus d'aléa.
Si on se pose la question : on tire au hasard une décimale de pi entre la première et la n-ième je crois avoir lu que, pour n assez grand, les chiffres sont équiprobables, quel que soit le système de numération (de position). Mais je peux me tromper.

Posted by: Patastronch

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Posté par nenex

Et sur les notes d'une promotion, sur 20 par exemple ?

Aller, j'arrête avec mes questions stupides ! (et je m'en vais réviser de la Thermique )

Bonne soirée !

Bon en fait si j'ai bien capté, si tes nombres suivent une loi equiprobable entre 1 et N alors les chiffres significatifs suivent cette loi. (pour N>9 sinon ca a pas de sens ! et plus N est grand, plus on convergera vers cette loi)
Ca devrait marcher pour la plupart des suites croissantes connues comme fibonacci. Par exemple si on prends le chiffre significatif de chaque terme jusqu'a u(N) ca devrait fonctionner.
Mais si c'est pas equiprobable (comme les tailles des individu, exemple qu'il cite dans son article) ca ne foncitonne pas. Il y a de fortes chancees que toutesl es notes ne soient pas equiprobable mais suivent plutot une loi normale centrée en 10. Donc ca ne devrait pas marcher.

Amuse toi bien avec tes révisions ;)

Posted by: nenex

Ah oui au passage, mon prof aujourd'hui a dis après avoir expliqué cette loi (qui l'a rendu tout euphorique, notamment à propos des analogies sur la nature), a prononcé cette phrase : "si dieu, devait exister, ce serai un mathématicien !"

sur ce, bonne nuit !

Posted by: Patastronch

Amusant parceque les informaticiens sont persuadé que Dieu en est un (et qu'il programme vachement bien).
Et ca doit etre pareil pour n'importe quel domaine :D

Posted by: ninjasam

Il y a un nom pour ces nombres qui ont des décimales qui suivent une loi équiprobable et il me semble (à vérifier) que pour pi on ne sait pas. Je crois par contre que exponentiel ou racine de 2 en fait partie. Il y avait un séminaire la dessus à mon université mais je n'y étais pas aller mais tu devrais pouvoir trouver ca quelque part.

Posted by: Quidam

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Posté par Patastronch

C'est le cas, c 'est leur chiffre significatif qui suit la loi pas le nombre en entier.

Voilà qui est bien dit !

Pour faire avancer le schmilblick, j'ai cherché des décimales de pi sur le net. J'en ai trouvé un paquet !!! Notamment un site qui proposait 500000 décimales à télécharger (http://www.brouty.fr/Maths/pi.html).

Je ne les ai pas vérifiées, mais je les ai lues. Et mes statisques me donnent :
49915 caractères 0
49984 caractères 1
49753 caractères 2
50000 caractères 3
50357 caractères 4
50235 caractères 5
49824 caractères 6
50230 caractères 7
49911 caractères 8
49791 caractères 9

Nenex, à toi de conclure (enfin, j'ai compris que tu avais déjà conclu) !

Posted by: scelerat

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Posté par ninjasam

Il y a un nom pour ces nombres qui ont des décimales qui suivent une loi équiprobable et il me semble (à vérifier) que pour pi on ne sait pas. Je crois par contre que exponentiel ou racine de 2 en fait partie. Il y avait un séminaire la dessus à mon université mais je n'y étais pas aller mais tu devrais pouvoir trouver ca quelque part.

Il me semble qu'en base 10, on ne sait pas, et que pour certaines bases, comme 8, on peut montrer que ca n'est pas equiprobable avec de subtils raisonnements sur le tore unite. Mais tout ca c'est de memoire 35 ans apres.

Posted by: nenex

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Posté par Quidam

Hum je m'incline bien bas !

Mais je me demande quand même si la lois de Benford vérifiée pour la longueur des fleuves, on peut voir un ordre dans la nature...enfin c'est comme le nombre d'or dans les fleurs...
Ça me laisse penseur tout ça !

Bien qu'ils y en aient bien plus que moi qui y pensent, pour trouver ces lois ! (la lois de Murphy par exemple !).

Posted by: Quidam

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Posté par nenex

Mais je me demande quand même si la lois de Benford vérifiée pour la longueur des fleuves, on peut voir un ordre dans la nature...enfin c'est comme le nombre d'or dans les fleurs...
Ça me laisse penseur tout ça !

La réponse à ta question ne se trouve pas dans les fleurs ; une partie se trouve dans ma bonne vieille règle à calcul :

http://img177.imageshack.us/img177/...eacalculwc5.png

Posted by: Rain'

Le mot que vous cherchez est nombre normal, c'est à dire un nombre réel qui a ses chiffres equi-distribués dans son développement décimal.

On peut montrer (facilement ?) que l'ensemble des nombres normaux est dense dans R.

On peut aussi montrer facilement que le nombre de Champernowne

0,1234567891011121314151617... est un nombre normal.

Par contre on ne sait trouver que très peu de nombres normaux en général. Et encore moins prouver si un irrationnel donné est normal.

Ainsi on a conjecturé mais que les nombres Pi et e sont normaux mais ça n'a encore jamais été prouvé.

Posted by: Quidam

Pour revenir à la loi de Benford, car ce post concerne deux choses, semble-t-il bien distinctes, d'une part la loi de Benford, d'autre part, la répartition des chiffres dans les décimales de $\Large \pi$ , et les nombres normaux, il me semble que la loi de Benford, suggère que les logarithmes des grandeurs diverses et variées des choses qui nous entourent suivraient une loi uniforme (dans certaines limites). Il y aurait autant d'"objets" de grandeurs comprises entre 1 et 2, qu'il y en a de grandeurs comprises entre 2 et 4, ou entre 4 et 8. C'est pourquoi j'ai montré une règle à calcul - objet particulièrement désuet de nos jours, dommage, je l'aimais bien ma règle à calcul !

Si l'on prend l'exemple des tailles des humains adultes. Sauf exception, il faut bien dire très rares, les humains mesurent entre 1m et 2m ! La loi de Benford est ici violée par un excès de 1s et une quasi absence des autres chiffres. Et si l'on décide de mesurer en cm, en milllimètres ou en microns, cela ne change strictement rien. Si on se met à utiliser les pouces, la loi sera non moins violée, car l'écart relatif est de toutes manières de l'ordre de 2 !

Pourquoi alors "les habitants des Pays-de-la-Loire, les chiffres de la bourse, la température de fusion des éléments et le nombre de caractères par articles dans les colonnes de Le Monde" obéiraient-ils à cette loi ? Une condition nécessaire semble être que l'écart relatif entre la plus grande valeur et la plus petite devrait "largement" dépasser 10 ! Mais est-ce une condition suffisante ?

Très intéressante cette question ! Cela me plonge dans un abîme de réflexions...

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