Soit ABCD un quadritatère quelconque, I le milieu de [AC], J celui de [BD]
et K celui de [EF] où E et F sont définis par les relations vectorielles AE
= 2/3 AB et DF = 1/3 DC.
Montrer que I, J, et K sont alignés !
Posted by: Mathieu VIENNEY
Tu dois utiliser ta relation de Chasles à fond en te basant uniquement sur
les cotés du quadrilatère.
Ainsi, tu dois pouvoir exprimer IJ et Ik et trouver un rapport entre les
deux.
IJ = IC + CD + DJ
=1/2 AC + CD + 1/2 DB
= 1/2 AB + 1/2 BC + CD + 1/2 DC + 1/2 CB
= 1/2 AB + 1/2 CD
De même IK = IC + CF + FK
=1/2 AB + 1/2 BC + 2/3 CD + 1/2 FE
= 1/2 AB + 1/2 BC + 2/3 CD +1/2 FE
= 1/2 AB + 1/2 BC + 2/3 CD + 1/2 FC + 1/2 CB + 1/2 BE
= 1/2 AB + 1/2 BC + 2/3 CD + 1/3 DC +1/2 CB + 1/6 Ba
=1/3 AB + 1/3 CD
Je te laisse trouver la relation finale entre Ij et IK ... ;-)
Ca se fait pas de t^te, mais avec un dessin sous les yeux ça se comprend
tout de suite ....
Kewoul <Kewool@Kewool.com> a écrit dans le message :
3fef582d$0$17122$626a54ce@news.free.fr...
> Soit ABCD un quadritatère quelconque, I le milieu de [AC], J celui de [BD]
> et K celui de [EF] où E et F sont définis par les relations vectorielles
AE
> = 2/3 AB et DF = 1/3 DC.
>
> Montrer que I, J, et K sont alignés !
>
>
Posted by: Jean-Jacques Rétorré
Le Sun, 28 Dec 2003 23:25:51 +0100
"Kewoul" <Kewool@Kewool.com> écrivit:
> Soit ABCD un quadritatère quelconque, I le milieu de [AC], J celui de
> [BD] et K celui de [EF] où E et F sont définis par les relations
> vectorielles AE= 2/3 AB et DF = 1/3 DC.
>
> Montrer que I, J, et K sont alignés !
La solution la moins pénalisante en calculs est d'utiliser
l'associativité du barycentre (si tu connais cette notion).
E est le barycentre du système {A(1) B(2)}, F est le barycentre du
système {C(1), D(2)}. K est le barycentre du système {E(3), F(3)}, donc
le barycentre du système {A(1), B(2),C(1), D(2)}. Par associativité,
c'est aussi le barycentre du système {I(2),J(4)}.
Comme le barycentre d'un système de deux points est aligné avec ces deux
points, on a la conclusion. On peut même affirmer que IK=4/6 IJ=2/3 IJ.
Si on n'utilise pas cette notion, il faut se taper tout le calcul avec
des vecteurs et montrer que IK=2/3 IJ vectoriellement.