Loi de poisson

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Bertrand Hamant

Bonjour, cela fait trois heures que j'essaie de comprendre un raisonnement pour me satisfaire mais je n'y arrive pas et je me sens frusté à l'idée de ne pas comprendre. Je vous présente mon énoncé que j'ai résolu à moitié dans lequel je butte sur certaines questions.

On ensemence des boites de petri avec en moyenne lambda bactéries. Soit X la variable aléatoire " nombres de colonies par boite après ensemencement". X est distribué selon une loi de Poisson en l'absence d'erreur expérimentale

On ensemence n boites, avec une probabilité P que la manipulation ait été mal faite ; dans ce cas, toutes les bactéries ensemencées seront tuées. On suppose qu'il y a indépendance de l'erreur d'une boites à l'autre.

1) Determiner la probabilité pour que n boites soient vides

j'ai trouvé [ P + (1-P)exp(-lambda)^n ]

On a n = 10, on suppose P = 0, donner les valeurs de lambda qui soient compatibles, avec l'observation de 10 boites vides. Une valeur de lambda n'est pas compatible avec l'observation si, pour cette valeur, l'observation de l'événement " 10 boites vides est improbable ( on dira qu'un événement est imrprobable si sa probabilité est < 0.05

je trouve que ça marche seulement avec lamda = 0.1 parmi les autres de valeurs de lamda proposés par l'énoncé qui sont, 1, 0.5, 0.3 et 0.1.

On suppose lambda = 0.1. On appelle Tn le nombre total de colonies observé dans n boites.

Mon professeur m'a dit que Tn suivait une loi de Poisson sans justifier j'aimerais savoir comment il est parvenu à ce constat

Et il nous a dit que P ( Tn = 0 ) = 0 était faux je ne comprends pas là c'est à partir de la que je butte.

On s'intéresse à la variable aléatoire M qui compte le nombre moyen de colonies sur les n boîtes. On supposera n infini.

Là il dit que la loi de M tend vers une loi normale et que P(M=0) = 0 était vrai

Je ne comprends plus rien c'est une contradiction ou une logique que je n'arrive pas à comprendre merci de m'aider :(

voici mon raisonnement

Si P ( Tn = 0 ) = 0, cela signifie que la probabilité d'avoir n boites vides est impossible, or avec l'exemple n = 10, on voit que le meme paramètre y = 0.1 est compatbile avec l'evenement 10 boites vides, par conséquent avec n boites et le meme paramère il est possible d'observer n boites vides, par conséquent Si P ( Tn = 0 ) = 0 est faux. Est ce une bonne justification. merci ?

Si P(M=0) = 0, cela signifie que la probabilité d'observer un nombre moyen égal à 0 est impossible, donc en prenant la nombre de n boites pleines et le nombre de n boites vides, divisé par n, on constate qu'il y a forcément des boites pleines par conséquent la moyenne ne peut etre nulle donc P(M=0)=0 est vrai

dites moi si les justifications sont correctes merci beacoup ?


Posted by: Bertrand Hamant

je pense que les justifications sont logiques, qu'en pensez vous s'il vous plait, demain cet après midi je cherche, je demande juste une confirmation pour apaiser ma conscience.

Merci


Posted by: Bertrand Hamant

Je ne comprends pas, je suis poli, j'ai bien cherché mon énoncé, je demande des confirmations et personne ne me répond, pour justifier mes raisonnements, si je perds un peu patience, c'est parce que depuis cet aprem j'y pense et je ne pourrais pas dormir si on ne me réponds pas.


Merci beaucoup


Posted by: Alpha

J'espère que quelqu'un trouvera le temps et fera l'effort de te répondre.
Personnellement, je dois aller me coucher... Peut-être que l'heure tardive et la longueur de ton sujet expliquent que les réponses ne se bousculent pas...

Espérons quand même! Bonne chance

Cordialement, Alpha.


Posted by: alben

Citation:
Posté par Bertrand Hamant
Bonjour, cela fait trois heures que j'essaie de comprendre un raisonnemen
1) j'ai trouvé [ P + (1-P)exp(-lambda)^n ]
Tu veux dire [ P + (1-P)exp(-\lambda)]^n
Pour la suite \lambda &lt; \frac{ln(20)}{10}=0,2996 0,3 convient presque
Citation:
Mon professeur m'a dit que Tn suivait une loi de Poisson sans justifier j'aimerais savoir comment il est parvenu à ce constat
Le nombre de colonies dans chaque boite suit une loi de Poisson, le nombre total de colonnies est donc la somme de n VA indépendantes. Cela résulte d'une propriété de la loi de Poisson (et aussi de la loi normale)
La somme de variable aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Poisson suit une loi de Poisson de paramètre = somme des paramètres.

Citation:
Et il nous a dit que P ( Tn = 0 ) = 0 était faux je ne comprends pas là c'est à partir de la que je butte.
Tn suit donc une loi de Poisson de paramètre n\lambda donc Prob(Tn=0)=e^{-n\lambda}&gt;0
Lorsque n augmente, la probabilité de Tn=0 diminue (c'est logique, sur un très nombre de boites, il devient de plus en plus improbable que toutes soient mortes...).
La variable M=Tn/n aura une espérance égale à \frac{exp(-n\lambda)}{n}\rightarrow 0
Par ailleurs, la convergence d'une loi de Poisson vers une loi normale lorque le paramètre augmente est un classique, en principe le seuil est de l'ordre de 20 ou 30, ce qui correspond, avec tes données, à n=200 ou plus


Posted by: Bertrand Hamant

voici mon raisonnement

Si P ( Tn = 0 ) = 0, cela signifie que la probabilité d'avoir n boites vides est impossible, or avec l'exemple n = 10, on voit que le meme paramètre y = 0.1 est compatbile avec l'evenement 10 boites vides, par conséquent avec n boites et le meme paramère il est possible d'observer n boites vides, par conséquent Si P ( Tn = 0 ) = 0 est faux. Est ce une bonne justification. merci ?

Si P(M=0) = 0, cela signifie que la probabilité d'observer un nombre moyen égal à 0 est impossible, donc en prenant la nombre de n boites pleines et le nombre de n boites vides, divisé par n, on constate qu'il y a forcément des boites pleines par conséquent la moyenne ne peut etre nulle donc P(M=0)=0 est vrai

dites moi si les justifications sont correctes merci beacoup ?


Posted by: Bertrand Hamant

En fait moi je voudrais savoir, si avec mes propres mots, mes justifactions sont équivalentes à celles de vos démonstrations mathématiques, si quelqu'un prend la peine de lire ces quelques lignes, j'en serais ravi, afin que je me débloque.

Voici le raisonnement

Si P ( Tn = 0 ) = 0, cela signifie que la probabilité d'avoir n boites vides est impossible, or avec l'exemple n = 10, on constate qu'avec le paramètre y = 0.1 il y a compatibilité avec l'evenement 10 boites vides, par conséquent avec n boites et le meme paramère il est possible d'observer n boites vides, par conséquent P ( Tn = 0 ) = 0 est faux, elle est faible mais pas nulle. Est ce une bonne justification. merci ?

Si P(M=0) = 0, cela signifie que la probabilité d'observer un nombre moyen égal à 0 est impossible, donc en faisant la somme du nombre de n boites pleines et le nombre de n boites vides, divisé par n, on constate qu'il y a forcément des boites pleines par conséquent la moyenne ne peut etre nulle donc P(M=0)=0 est vrai

dites moi si les justifications sont correctes merci beacoup ?


Posted by: alben

Le premier raisonnement est correct, le second l'est moins.
En fait, il y a bien un paradoxe qui provient d'un passage à la limite.
P(Tn=0) est non nul mais diminue à mesure que n augmente.
En notant Mn= Tn/n on a aussi P(Mn=0)>0 mais diminuant avec n (moins vite que Tn du fait de la division)
C'est seulement en faisant tendre n vers l'infini que P(M=0) devient nulle.


Posted by: Bertrand Hamant

En fait, je voulais dire qu'étant donné que la probabilité de Tn diminue sans pour autant être nul, au fur à mesure que n augmente, ceci indique que nous avons plus de chances d'observer n boites pleines que n boites vides, ça prouve qu'il y a forcément un nombre moyen bactéries, donc ça indique qu'un nombre moyen de bactéries égal à 0 sur les n boites est impossible, d'où le fait de dire que P(M=0) = 0


Je pense que ça tient la route alben ??


Posted by: alben

Citation:
Posté par Bertrand Hamant
En fait, je voulais dire qu'étant donné que la probabilité de Tn diminue sans pour autant être nul, au fur à mesure que n augmente, ceci indique que nous avons plus de chances d'observer n au moins une boite pleine que n boites vides, ça prouve qu'il y a forcément un nombre moyen bactéries, donc ça indique qu'un nombre moyen de bactéries égal à 0 sur les n boites est impossible improbable, d'où le fait de dire que P(M=0) = 0

Attention, il n'est pas sur que la proba qu'il y ait n boites pleines soit plus élevée que celle d'en avoir aucune. D'ailleurs, la proba que Tn=n tend elle aussi vers zéro !
Tu ne peux pas éviter le passage à la limite


Posted by: Bertrand Hamant

et si on rédige, comme ça, je te dis ça car en proba j'essaye toujours de comprendre par moi meme pour comprendre ensuite les vrais raisonnement

En fait, je voulais dire qu'étant donné que la probabilité de Tn diminue sans pour autant être nul, au fur à mesure que n augmente, ceci indique que nous pouvons observer au moins n1 boite pleine et n2 boites vides, ça prouve qu'il y a forcément un nombre moyen bactéries, donc ça indique qu'un nombre moyen de bactéries égal à 0 sur les n boites est improbable, d'où le fait de dire que P(M=0) = 0


ça suit le meme raisonnement.

Merci encore


Posted by: Bertrand Hamant

En fait je raisonne comme ça, je me dis que s'il y a 100 boites, et comme je sais que la probabilité de Tn diminue sans pour autant atteindre 0, ça veut dire que j'aurais forcément des boites vides et des boites pleines, donc j'aurai deux possibilités, ce qui signifie en faisant la somme la moyenne ne saura jamais nul car je ne me trouve pas en présence que de boites vides.

c'est pour ça que je dis ça alben, P(M=0)=0 , de plus tu acceptes le premier raisonnement, mais le deuxième en découle un peu du premier, qu'en dis tu maintenant ?


Posted by: Bertrand Hamant

Et vous vous etes d'accord avec mes 2 raisonnements car je doute en fait de la manière dont j'ai raisonné










-