DM de maths récurrence

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Margaux132

bonjour, j'ai un dm pour demain et je suis bloquée sur une petite question...

démontrer que somme de k=1 à n+ 1 k.2^(k-1) = n.2^(n+1) + 1

Merci d'avance.
Margaux


Posted by: Riemann

tu peux démontrer la formule par récurrence.


Posted by: Margaux132

oui mais je n'y arrive pas.../


Posted by: Ptah Sokar

Bonjour,

Tu dois montrer donc cela : \sum_{k=1}^{n+1} k.2^{k-1} = n.2^{n+1} + 1

pour n=0 : 1.2^0 = 0.2^1 + 1 = 1
On suppose donc l'égalité vraie au rang n : \sum_{k=1}^{n+1} k.2^{k-1} = n.2^{n+1} + 1

\sum_{k=1}^{n+2} k.2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n+1} k.2^{k-1} + (n+2).2^{n+1}= n.2^{n+1} + 1 + (n+2).2^{n+1} = (2n+2).2^{n+1} + 1
= 2.(n+1).2^{n+1} + 1 = (n+1).2^{n+2} + 1
La propriété est donc vraie au rang n+1, et tu conclues


Posted by: Margaux132

merci beaucoup:)










-