Mathématiques - [Niv. SUP] DM de maths : Projecteur et espace vectoriel

[Niv. SUP] DM de maths : Projecteur et espace vectoriel
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Posted by: zelda007

Bonjour à tous,

Je bloque sur un MD de maths :

Soit p un endomorphisme de E tel que p o p = p

1) Soit y appartenant à E. Montrer que : y appartient à Im(p) <=> y = p(y)
Le sens <= est évident puisque c'est la définition de l'image directe.
Le sens => je bloque. Je sais que si y appartient à Im(p) alors il existe un x appartenant à E tel que y = p(y) mais après que faire ?

Merci

Posted by: trust

Il existe $x\in\mathscr{E}$ t.q. $y = p(x) = p(p(x)) = p(y)$

Posted by: Nightmare

Salut !

Soit y dans Im(p), il existe x tel que p(x)=y
On a alors pop(x)=p(y) soit p(x)=p(y)
d'où par transitivité y=p(y)

Posted by: Nightmare

En retard, désolé.

Posted by: zelda007

Lol c'était tout bête !!

On me demande maintenant de montrer que Im(p) = Ker(Ide - p) et que Ker(p) et Im(p) sont en somme directe (donc montrer que Ker(p) "inter" Im(p) = {Ide}).

PS : Si y'a une possibilité de faire les symboles de mathsn je suis prenneur (je connais pas le LATEX) :)

Posted by: trust

t'as pas un livre d'algèbre linéaire tout prêt de toi? parce que c'est un exercice typique qui se trouve facilment dans les livres...

Posted by: zelda007

Ah bon ? Non désolé je n'ai pas de bouquin... mais sur le net j'ai rien trouvé mais je m'y suis sans doute mal pris. De toute manière les réponses m'interesse pas, c'est la démarche qui compte et le but est que je comprenne.

Donc si vous pouviez me guider :D

Merci

Posted by: rafbh

Avec y dans imp il existe x dans E tq y=p(x)
é puis tu calcule y-p(y)=p(x)-pop(x)=0 car pop=pd'ou imp inclus ker(ide-p)
avex x dans ker(ide-p) on a x-p(x)=0 on obtient x=p(x) dou x appar imp
ainsi ker(---) inclus imp

Posted by: trust

essaie la double inclusion ...

Posted by: rafbh

jte laisse la somme directe fastoche

mais demande si tu coince!!
n'hésites surtout pas meme si les remarques de certains sont découragentes!!
Mais il sont sympa t'inquiétes

Posted by: zelda007

Citation:

Posté par rafbh

jte laisse la somme directe fastoche

mais demande si tu coince!!
n'hésites surtout pas meme si les remarques de certains sont découragentes!!
Mais il sont sympa t'inquiétes

Merci pour vos aides. En tout cas c'est rapide !! et c'est très rare sur un forum

Je viens de comprendre ta démo, juste une précision dans cet exo, Ide c'est bien la fonction nulle ou alors c'est la fonction qui à x ===> x ?

Pour la somme directe, le problème c'est que on a jamais vu ce que c'était. On a juste une ligne disans que : si F et G sont en sommes directes alors F inter G = {l'élément neutre}. Mais vu que je n'ai jamais vu ce genre de démo, je ne sais pas par où commencer...

Posted by: rafbh

x>>>>x

tu prends y dans imp inter kerp
il existe x dans E tq y=p(x) or p(y)=0 cr y dans kerp dou pop(x)=p(x)=0 or y=p(x)

on obtient bien y=0.

N'hésites surtout pas!!

Posted by: zelda007

C'est tellement simple que j'ai l'impression d'être un abruti !

Tu n'a pas répondu mais d'après toutes les démos, tu me confirmes bien que Ide dans ce exo c'est bien l'application nulle ?

Posted by: Joker62

Ide c'est l'identité
Qui à un vecteur x associe le même vecteur x :)

Posted by: trust

non, je ne crois pas....

Posted by: zelda007

Certes mais Ide c'est l'élément neutre dans cet exo donc c'est pas la fonction nulle ? car si c'est l'application qui a x associe x alors les démos de rafbh sont fausses :

Citation:

tu prends y dans imp inter kerp
il existe x dans E tq y=p(x) or p(y)=0 cr y dans kerp dou pop(x)=p(x)=0 or y=p(x)

on obtient bien y=0.

Dans ces démos, il y a des "0" partout...

Posted by: trust

t'as des 0 partout parce que tu es dans le noyau...

Posted by: zelda007

La définition du noyau :
x appartient à Ker(f) <=> f(x) = {l'élément neutre} et dans cet exo l'élément neutre est : Ide donc il y a quelque chose que je ne comprends pas. Ca doit etre les vacances qui m'abrutisse.

Posted by: trust

dans le cas ici, p(x) est un point, pas une application. Si je crois bien, E est un espace vectoriel, l'élement neutre est donc 0.

Posted by: zelda007

Citation:

Posté par trust

dans le cas ici, p(x) est un point, pas une application. Si je crois bien, E est une espace vectoriel, l'élement neutre est donc 0.

p est un endomorphisme de E et E est une ev donc effectivement l'élément neutre est 0. C'est moi qui m'embrouille les pinceaux...

Donc maintenant, on pose q = Ide - p. Trouver q o q et montrer que Im(Ide - p= Ker(p).
q o q = (Ide - p) o (Ide - p), y'a des propriétés connues sur "o" ?

Posted by: trust

c'est la loi de composition...

Posted by: Joker62

(Ide-p)o(Ide-p) = Ide o Ide - Ide o p - p o Ide + p o p = Ide - p - p + p = Ide - p

"L'ensemble des applications linéaires est un groupe pour la loi de composition"

Cette remarque ne doit pas être lue par n'importe qui !
Merci de votre compréhension ! :D

Posted by: xyz1975

Citation:

Posté par zelda007

La définition du noyau :
x appartient à Ker(f) <=> f(x) = {l'élément neutre} et dans cet exo l'élément neutre est : Ide donc il y a quelque chose que je ne comprends pas. Ca doit etre les vacances qui m'abrutisse.

Soit f: E ----->F une application linéaire, ce qui suppose que E et F sont des espaces vectoriels.
x est dans Kerf <=> f(x)=0.
C'est quoi le zéro, F étant un espace vectoriel donc muni de deux lois + et .
0 c'est bien l'élément neutre de la première (ou l'élément absorbant de la deuxième) en général l'élément neutre par rapport à la somme est noté 0.

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par Joker62

L'ensemble des applications linéaires est un groupe pour la loi de composition

Posted by: mehdi-128

Citation:

Posté par zelda007

tu peux développer ............

Posted by: zelda007

Donc si j'ai bien compris pour démontrer que Im(q) = Ker(p) :

Soit y appartenant à Im(q), il existe un x de E tel que y = q(x) <=> y - q(x) = 0 <=> Ide - (Ide - p) = 0 <=> p = 0 donc y appartient à Ker(p).

Soit x appartenant à Ker(p) alors p(x) = 0 <=> Ide - p(x) = Ide = x <=> q(x) = x et donc x appartient à Im(q).

Est ce correcte ?

Posted by: rafbh

Bon tume semble bien en confusion.
ON note par 0 sois 0 de E soit celui de K.
par ide lapplication qui a x>>>>>x
ou est le problème?

Posted by: zelda007

Citation:

Posté par rafbh

Bon tume semble bien en confusion.
ON note par 0 sois 0 de E soit celui de K.
par ide lapplication qui a x>>>>>x
ou est le problème?

??? pas compris le rapport...

Posted by: rafbh

ide cest lapplication identique.
0 de E cest le neutre de + dans E.
0 de K cest celui de + dans K.
c'est tout
dis moi exactement ou est le problème?

Posted by: zelda007

Il n'y a pas de problème mais tu n'as pas du lire le thread jusqu'au bout. Je demande tout simplement si mon raisonnement est juste :

Citation:

Donc si j'ai bien compris pour démontrer que Im(q) = Ker(p) :

Soit y appartenant à Im(q), il existe un x de E tel que y = q(x) <=> y - q(x) = 0 <=> Ide - (Ide - p) = 0 <=> p = 0 donc y appartient à Ker(p).

Soit x appartenant à Ker(p) alors p(x) = 0 <=> Ide - p(x) = Ide = x <=> q(x) = x et donc x appartient à Im(q).

Est ce correcte ?

Merci

Posted by: zelda007

Alors :) ?

Posted by: trust

ya un truc qui me chagrine...

Posted by: zelda007

Citation:

Posté par trust

ya un truc qui me chagrine...

Soit un peu plus explicite