j'ai du mal pour les calculs diff:
soit f une fonction de classe C2 sur R².
soit x0, y0 dans R, soit r un reel=>0 et
F(r)=int( f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)),t=0..2pi)
comment démontrer que F est définie et continue sur (0,+inf[ ?
comment démontrer que F est C1 ?
merci
Posted by: Nicolas Richard
Wenceslas a écrit :
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> Bonjour,
>
> j'ai du mal pour les calculs diff:
> soit f une fonction de classe C2 sur R².
> soit x0, y0 dans R, soit r un reel=>0 et
>
> F(r)=int( f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)),t=0..2pi)
> comment démontrer que F est définie et continue sur (0,+inf[ ?
F est bien définie, car [t -> f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t))] est continue
(composées de fct continues) sur le compact [0;2 Pi] dès lors elle est
bornée et donc intégrable (pour tout r). Ca me parait d'ailleurs bien
défini partout.
Elle est continue. Soit une suite r_k -> r
|F(r_k) - F(r)| = |int(f(x0+r_k*cos(t),y0+r_k*sin(t)) -
f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)),t=0..2pi)|
<= int(|f(x0+r_k*cos(t),y0+r_k*sin(t)) -
f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t))|,t=0..2pi)
Par continuité de f, l'intégrande est plus petit qu'epsilon pour k grand
Donc |F(r_k) - F(r)| <= epsilon * 2Pi
Pareil, ça me parait continu partout.
> comment démontrer que F est C1 ?
On pourrait faire pareil mais ça risque de prendre beaucoup de lignes vu
l'expression. On va donc tenter d'appliquer la convergence dominée:
La dérivée de l'intégrande par rapport à r est
df/dx(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)) cos(t) + df/dy(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t))
sin(t)
C'est borné sur [0;Pi] par df/dx(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)) +
df/dy(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t))
Et comme f' est continue, on est toujours sur notre compact, c'est
encore borné. Tout cela sur le même domaine borné. De bornes en bornes,
tout cela est bien borné par quelque chose d'intégrable.
Dès lors on a, en notant g(r,t) = f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t))
On utilise le théorème des accroissements finis qui dit que, comme g est
C^1, [g(r+h,t)-g(r)]/h = dg/dr(r + i_h h,t) pour un certain i_h \in
[0;1]
F'(r) = lim (h -> 0) int(dg/dr(r + i_h h,t),t=0..2Pi)
Oh miracle on a vu que dg/dr était bornée par un truc intégrable un peu
plus haut, on peut donc passer la limite dans l'ingrale et on trouve
bien F'(r) = int(dg/dr(r,t),t=0..2Pi)
Et c'est continu car g est continue, comme plus haut.
Et je ne vois toujours pas pourquoi il faudrait se restreindre aux r >
0, et je ne vois pas non plus pourquoi il faudrait que f soit C^2, C^1
me parait bien suffisant. J'ai peut être raté un truc dans l'aventure...
et puis il faut dire qu'il y a certainement des théorèmes plus simples
d'utilisations qui permettent d'avoir directement le résultat.
--
Nico.
Posted by: Osiris
"Wenceslas" <navilys2001@aol.com> a écrit dans le message de news:
> j'ai du mal pour les calculs diff:
> soit f une fonction de classe C2 sur R².
> soit x0, y0 dans R, soit r un reel=>0 et
> F(r)=int( f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)),t=0..2pi)
>
> comment démontrer que F est définie et continue sur (0,+inf[ ?
euh, c'est le théorème relaif à la continuité d'une fonction définie par
intégrale non?
**f: R² ---> R
(r,t) --> f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)) est continue.
**Pour tout r, t --> f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)) est intégrable sur [0,2Pi]
En prenant "r" dans des segments de R de la forme [c,d], on a que
f(x0+r*cos(t),y0+r*sin(t)) reste dans un rectangle et y est borné par un
réel M
Ainsi, F(r) est définie et continue sur tout segment de la forme [c,d]
inclut dans R (y'a d'ailleurs pas de raison de limiter r aux valeurs
positives)
> comment démontrer que F est C1 ?
Pareil en prenant "r" dans ses segments et en oubliant pas de majorer chaque
dérivée partielle de f