Dans mon devoir que j'ai presque fini, il y a deux question qui me bloquent
:
La première :
On me demande de demontrer que, quels que soient les entiers naturels n et k
on a :
7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
et on de demande de déterminer les restes possibles de la division
euclidienne de 7^n par 19
La deuxième :
On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
cela serait cool que vous m'orientiez...
Merci !
Posted by: Stéphane Ménart
"Kery James" a écrit
> On me demande de demontrer que, quels que soient les entiers naturels
n et k
> on a :
>
> 7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
On a 7^(3n+k) = 7^(3n) * 7^k
Il suffit donc de prouver que 7^(3n) est congru à 1 mod 19.
Or 7^(3n) = (7^3)^n. Il suffit donc de prouver que 7^3 est congru à 1
mod 19.
Cordialement
Stéphane
Posted by: Michel
Bonsoir,
Kery James écrivait :
> 7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
7^(3n+k)-7k = 7^k.(7^(3n) - 1)
Montrer que pour tout n naturel, 19 divise 7^(3n)-1 et conclure.
(en factorisant 7^(3n)-1 par exemple)
> et on de demande de déterminer les restes possibles de la division
> euclidienne de 7^n par 19
>
> On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
> concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
Il faut utiliser la relation précédente pour ces deux questions.
La 1°, tu fais la division euclidienne de n par 3.
La 2°, même chose, tu as trois cas pour a.
N'hésite pas à redemander si tu ne vois pas.
À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: Denis
Le 06/10/03 18:32 , Kery James a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Bonjour,
Bonjour,
> La première :
> On me demande de demontrer que, quels que soient les entiers naturels net k
> on a :
>
> 7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
Calcule 7*7, regarde ce que cela vaut modulo 19, puis multiplie le par 7
et revient modulo 19. Tu obtient 7^3 modulo 19. Tu as alors, pour
t'aider, la célèbre formule 7^(3n+k)=(7^3)^n * 7^k....
> et on de demande de déterminer les restes possibles de la division
> euclidienne de 7^n par 19
Tu opéres la division euclidienne de n par 3: n=3p ou n=3p+1 ou n=3p+2.
Tu trouves le résultat facilement avec ce que tu as fait juste avant.
> La deuxième :
> On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
> concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
Si a, b et c sont consécutifs, il y en a un qui est congrus à zéros
modulo 3, un autre à un et le dernier à 2. Ce qui précède te donne le
résultat des restes modulo 19 de chacun et donc la somme.
> cela serait cool que vous m'orientiez...
Voilà. J'espère t'avoir aider à avancer...
--
Denis
Pour me joindre, enlever les _ !
Les statistiques c'est comme les dessous féminins, ça montre beaucoupde
chose mais cela cache l'essentiel. Pal Erdös
Posted by: Denis
Le 06/10/03 19:00 , Denis a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Voilà. J'espère t'avoir aider à avancer...
aidé pardon.
--
Denis
Pour me joindre, enlever les _ !
Qui s'endort médisant,
se réveille calomnié.
-Proverbe chinois
Posted by: Kery James
Merci !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"Denis" <r_a_v_a_i_l_l_e@d_p_t_m_a_t_h_s.e_n_s-c_a_c_h_a_n.f_r> a écrit dans
le message news: bls6r3$9rm$1@lucas.loria...
Le 06/10/03 18:32 , Kery James a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Bonjour,
Bonjour,
> La première :
> On me demande de demontrer que, quels que soient les entiers naturels n et
k
> on a :
>
> 7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
Calcule 7*7, regarde ce que cela vaut modulo 19, puis multiplie le par 7
et revient modulo 19. Tu obtient 7^3 modulo 19. Tu as alors, pour
t'aider, la célèbre formule 7^(3n+k)=(7^3)^n * 7^k....
> et on de demande de déterminer les restes possibles de la division
> euclidienne de 7^n par 19
Tu opéres la division euclidienne de n par 3: n=3p ou n=3p+1 ou n=3p+2.
Tu trouves le résultat facilement avec ce que tu as fait juste avant.
> La deuxième :
> On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
> concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
Si a, b et c sont consécutifs, il y en a un qui est congrus à zéros
modulo 3, un autre à un et le dernier à 2. Ce qui précède te donne le
résultat des restes modulo 19 de chacun et donc la somme.
> cela serait cool que vous m'orientiez...
Voilà. J'espère t'avoir aider à avancer...
--
Denis
Pour me joindre, enlever les _ !
Les statistiques c'est comme les dessous féminins, ça montre beaucoup de
chose mais cela cache l'essentiel. Pal Erdös
Posted by: Kery James
Merci, pour vos réponses
mais je n'ai toujours pas saisi 2 trucs :
voici ce que Denis ma'a répondu :
pour cette question : "et on de demande de déterminer les restes possibles
de la division
> euclidienne de 7^n par 19"
REPONSE DE DENiS : Tu opéres la division euclidienne de n par 3: n=3p ou
n=3p+1 ou n=3p+2.
Tu trouves le résultat facilement avec ce que tu as fait juste avant.
> La deuxième :
> On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
> concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
REPONSE DE DENiS : Si a, b et c sont consécutifs, il y en a un qui est
congrus à zéros
modulo 3, un autre à un et le dernier à 2. Ce qui précède te donne le
résultat des restes modulo 19 de chacun et donc la somme.
En faite, j'ai pas compris pourquoi on prend 3... pouvez vous me donner un
exemple svp...
"Kery James" <@.fr> a écrit dans le message news:
3f81987d$0$20163$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Dans mon devoir que j'ai presque fini, il y a deux question qui me
bloquent
> :
>
> La première :
> On me demande de demontrer que, quels que soient les entiers naturels n et
k
> on a :
>
> 7^(3n+k) est congrus à 7^k modulo 19
>
> et on de demande de déterminer les restes possibles de la division
> euclidienne de 7^n par 19
>
> La deuxième :
> On me demande de démontrer que si a,b,c sont trois entiers naturels
> concécutifs, alors 7^a + 7^b+7^c est un multiple de 19.
>
>
> cela serait cool que vous m'orientiez...
> Merci !
>
>
Posted by: Michel
Bonjour,
La division euclidienne te dit que n'importe quel entier peut se
décomposer en un quotient et en un reste.
En particulier ce théorème te permet d'affirmer qu'un entier naturel n ne
peut s'écrire que sous une des trois formes suivantes :
n=3k, n=3k+1, n=3k+2, avec k un entier naturel.
En termes de congruences, ça veut dire que --modulo 3--, n est soit
congru à 0, soit à 1, soit à 2.
Tu aurais évidemment le même genre de résultat par la division
euclidienne par 5 par exemple (5 formes possibles).
Ici on t'a donné pour indication de décomposer en ces trois formes à
cause de ta première question qui te donnait justement les restes modulo
19 pour chacune de ces trois formes.
Sachant qu'avec ces trois formes tu reconstitues tous les naturels tu
peux donc affirmer pouvoir donner n'importe quel reste modulo 19.
(Par exemple si je te demande de trouver le reste de 7^1532 modulo 19, ce
qui serait un peu laborieux par le calcul, il te suffit de donner la
division euclidienne de 1532 par 3 et tu connaîtras le résultat
facilement)
Pour la deuxième question Denis a été un peu synthétique mais tu peux
maitenant comprendre son raisonnement.
(Il faut utiliser la compatibilité de la relation de congruence avec
l'addition)
À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: Kery James
Merci à tous !
g compris maintenant !
"Michel" <overdose@alussinan.org> a écrit dans le message news:
XnF940DB534B917michel@193.252.19.141...
>
> Bonjour,
>
> La division euclidienne te dit que n'importe quel entier peut se
> décomposer en un quotient et en un reste.
>
> En particulier ce théorème te permet d'affirmer qu'un entier naturel n ne
> peut s'écrire que sous une des trois formes suivantes :
> n=3k, n=3k+1, n=3k+2, avec k un entier naturel.
>
> En termes de congruences, ça veut dire que --modulo 3--, n est soit
> congru à 0, soit à 1, soit à 2.
>
> Tu aurais évidemment le même genre de résultat par la division
> euclidienne par 5 par exemple (5 formes possibles).
>
>
>
> Ici on t'a donné pour indication de décomposer en ces trois formes à
> cause de ta première question qui te donnait justement les restes modulo
> 19 pour chacune de ces trois formes.
> Sachant qu'avec ces trois formes tu reconstitues tous les naturels tu
> peux donc affirmer pouvoir donner n'importe quel reste modulo 19.
>
> (Par exemple si je te demande de trouver le reste de 7^1532 modulo 19, ce
> qui serait un peu laborieux par le calcul, il te suffit de donner la
> division euclidienne de 1532 par 3 et tu connaîtras le résultat
> facilement)
>
>
>
> Pour la deuxième question Denis a été un peu synthétique mais tu peux
> maitenant comprendre son raisonnement.
> (Il faut utiliser la compatibilité de la relation de congruence avec
> l'addition)
>
>
> À plus tard.
> --
> Michel [overdose@alussinan.org]