Mathématiques - loi de composition

loi de composition
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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir, je bloque sur cet exercice:

Citation:

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de associative possédant un élément neutre.

Soient $x,\ y$ deux éléments inversibles de $E$ .
Si $x$ et $y$ sont permutables, $x^m$ et $y^n$ sont permutables qels que soient les entiers rationnels $m$ et $n$ .

Donc on veut montrer que pour tous $x,\ y \in E$ inversibles et tels que $xy=yx$ , pour tous $m,\ n \in \mathbb{Z}$ , $x^my^n=y^nx^m$ .

En premier lieu je pensais montrer que pour tous $x,\ y \in E$ inversibles et tels que $xy=yx$ ,
on a pour tout $k\in \mathbb{Z}$ on a $x^ky=yx^k$ (et là je bloque pour montrer que cette propriété est vérifié pour $k$ strictement négatif)

Comme ça, je peux montrer que

$x^my^n = x^{m-1}xyy^{n-1} = x^{m-1}yxy^{n-1} = yx^{m-1}xy^{n-1} = yx^my^{n-1}$

Et en $n$ itérations déduire le résultat.

Merci pour votre aide.

Posted by: cesson

bonjour

Comme x et y sont inversibles xy aussi et (xy)^-1 = y^-1x^-1 xy =yx implique que (xy)^-1 =(yx)^-1 soit x^-1y^-1 = y^-1x^-1 et voila pour passer au cass m et n <0

Posted by: Flodelarab

Et si on pose Y=y^n et X=x^m ?
On a Y \in E, X \in E, on peut les intervertir et la solution coule de source.

Ai je oublié qqchose ?
La loi n'est pas une loi de composition interne ?

Posted by: legeniedesalpages

ok merci, mais flodelarab qu'est-ce qui nous dit que X et Y sont permutables?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par cesson

bonjour

Comme x et y sont inversibles xy aussi et (xy)^-1 = y^-1x^-1 xy =yx implique que (xy)^-1 =(yx)^-1 soit x^-1y^-1 = y^-1x^-1 et voila pour passer au cass m et n <0

ok mais si par exemple $m<0$ et $n> 0$ comment montrer que $x^{-1}$ et $y$ sont permutables ?

Posted by: legeniedesalpages

Je crois que j'ai trouvé:

$xy=yx$

donc $x^{-1}xy=x^{-1}yx$ ,

ie $y=x^{-1}yx$

d'où $yx^{-1}=x^{-1}yxx^{-1} = x^{-1}y$

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par legeniedesalpages

ok merci, mais flodelarab qu'est-ce qui nous dit que X et Y sont permutables?

car X et Y appartiennent à E ....
et la loi est une loi de composition interne associative.

Posted by: kazeriahm

non floderalab, la loi n'est pas supposée commutative

la multiplication matricielle n'est pas une loi commutative, bien qu'interne et associative

Posted by: Flodelarab

Citation:

Posté par kazeriahm

non floderalab, la loi n'est pas supposée commutative

Ah oui pardon

Posted by: legeniedesalpages

Un autre problème où je bloque:

Sur l'ensemble $\{1,2,3\cdots\}$ , on considère la loi de composition $(x,y)\rightarrow x^y$ .
Quand deux éléments sont-ils permutables?

Je pense que ça doit être quand $x=y$ mais je ne vois pas comment le justifier.

Posted by: ThSQ

C'est donc qd x^y = y^x c'est donc quand x=y ou que x=2 et y=4 ou y=4 et x=2 (exo olympique classique).

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par ThSQ

C'est donc qd x^y = y^x c'est donc quand x=y ou que x=2 et y=4 ou y=4 et x=2 (exo olympique classique).

Qu'on voit aussi à l'X, et qui se résout soit joliment mais de manière compliquée avec de l'arithmétique... soit avec la (taupinale) étude de la fonction ln(x)/x ;)

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

exo olympique, de l'X

Salut ThSQ et SimonB.

aïe, c'était pas dit ça, je l'ai trouvé dans un bouquin de maths classique de première année.

Vous n'auriez pas un petit canevas?

Posted by: legeniedesalpages

oups désolé, j'avais pas bien lu ton post SimonB. Je vais regarder ça.

Posted by: legeniedesalpages

les maths c'est aux jeux olympique aussi?

Posted by: legeniedesalpages

ok je commence à voir pour la méthode avec le logarithme, je dois trouver une méthode plus élémentaire je pense, le logarithme est défini beaucoup de chapitre plus loin.

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par legeniedesalpages

les maths c'est aux jeux olympique aussi?

On parlait des olympiades, je pense.

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par legeniedesalpages

une méthode plus élémentaire

Y'a au moins deux façons de torcher le truc :

1) Etudier $f(x) = x^{1/x}$ (ou ln(x)/x) pour voir que f(3) > f(2) = f(4) > f(5) > ... > f(1) = 1

2) Si y > x alors $x^{y-x}= (y/x)^x$ . $x^{y-x}$ est entier donc y/x aussi : y = k*x
Mais $k^{k-1} > k$ dès que k > 2.

Posted by: legeniedesalpages

ok merci ThSQ,

je vais regarder plus en détail la méthode 2), pour la méthode 1) c'est ok.