Mathématiques - exo d'olympiade en arithmétique

exo d'olympiade en arithmétique
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Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour
voici un problème sur l'arithmétique posé en 1998
Trouver tous les couples (a,b) d'entiers strictement positifs tels que tels que $ab^2 + b + 7$ divise $a^2b+ a + b$

Bon courage

Posted by: BiZi

Déjà posé

Posted by: BancH

Peux-tu donner le lien stop ?

Posted by: sandrine_guillerme

Ah bon?
Ok
Déterminer tous les couples (n,p) d'entiers strictement positifs tel que p est un nombre premier $n<=2p$ et $(p-1)^n + 1$ est divisible par n^(p-1).
Bon courage !

Posted by: BiZi

le lien

Pour ton exo il reste plus qu'à réfléchir^^

Posted by: BancH

Merci pour le lien.

Posted by: oss007

bonjour Sandrine

peux-tu indiquer la provenance de cet exercice (le second): année, pays ?
et aussi une piste pour démarrer ?
merci

Posted by: sandrine_guillerme

Oula! excuse moi oss007 j'avais pas fais attention, en fais je croyais que l'exo n'etais pas intéréssant c pour ça que je venais pas vérifié bon en tout cas si tu parle de cet exercice ..

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Déterminer tous les couples (n,p) d'entiers strictement positifs tel que p est un nombre premier $n<=2p$ et $(p-1)^n + 1$ est divisible par n^(p-1).
Bon courage !

Citation:

Posté par oss007

la provenance de cet exercice : année, pays ?

alors la date de l'olympiade c'était 16-17 juillet 1999 à Bucarest (Roumanie) et l'exercice a été proposé par le Taïwan

Citation:

Posté par oss007

et aussi une piste pour démarrer?

Oui alors tu remarque s'il y en a des solutions évidente (comme pour chaque exo) .. et essayer de donner le cas général .. et discuter les cas selon que p pair ou impair ..
Sinon il y a une autre méthode celle avec la congruence ..

J'espère que j'étais assez clair (?)

Bon courage

Posted by: BancH

Déjà on montre facilement que $n$ est impair:

$p=2$ n'est pas solution, alors $p-1\equiv0[2]$ et $(p-1)^n + 1\equiv1[2]$ par conséquent $n^{p-1}\equiv 1[2]$ donc $n\equiv1[2]$

Posted by: sandrine_guillerme

Bien vu

Posted by: BancH

Oui mais ça aide pas tellement.

On peut le finir seulement avec la congruence ton exo ?

Posted by: sandrine_guillerme

tu peux le finir avec la congruence seulement ou bien essayer la 1ere méthode elle est assez rapide elle consiste en effet sur ce que tu avais dis après voir quand p est pair .. etc elle est assez rapide crois moi :)

A+

Posted by: oss007

Bonjour,
merci pour les références , et merci aussi d'avoir relancé cet exercice .
Tous les exercices sont intéressants ,principalement ceux des Olympiades.

Posted by: sandrine_guillerme

De rien

Voulez vous la réponse ?

Posted by: oss007

pourquoi pas?
merci

Posted by: BancH

En tout cas moi je bloque.

Posted by: BancH

J'ai peut être une piste:

$(p-1)\equiv p-1[p]$

$(p-1)^2\equiv p^2+1-2p[p]\equiv 1[p]$

$(p-1)^3\equiv 1(p-1)[p]\equiv p-1[p]$

Généralement, $(p-1)^{2k+1}\equiv p-1[p]$

$<br /> n=2k+1$

$<br /> (p-1)^n+1\equiv p-1+1[p]\equiv 0[p]$

$p$ | $(p-1)^n+1$

Posted by: BancH

Tout couple $(n,p)$ de la forme $n^{p-1}=p$ est solution.

Mais c'est juste une condition suffisante.

Posted by: sandrine_guillerme

Salut

Voici je vous donne la réponse là ..
on voit facilement que (1,p) est une solution.
si p=2 et n>1 alors on obtient n=2 donc la paire (2,2) est aussi une solution. Supposons maintenant que p>=3 donc (p-1)^n +1 est impair et par suite n est impair et par conséquent n=2p est impossible donc n<2p !

(ça va jusque la ?)

Soit q le plus petit nombre premier divisant n , on a donc pgcd(n,q-1)=1 par le théorème de Bézout il existe (a,b) dans Z^2
an+b(q-1)=1 .

On a par hypothèse q|(p-1)^n + 1 c'est à dire (p-1)^n $\equiv$ -1 (mod q) , comme q est impair alors q-1 est pair et donc a est impair donc on obtient :
p-1 = (p-1)^(an+b(q-1)) $\equiv$ (-1)^a (1)^b $\equiv$ -1 (mod q)
Par suite q|p et comme p est premier alors q=p, on a donc p|n et n<2p, d'où n=p. utilisons l'hypothèse une autre fois pour obtenir p^(p-1)|(p-1)^p +1.

en développant le polynôme (p-1)^p et en utilisant le fait que $p | {p \choose k}$ et en travaillant (mod p^3) on obtient p^2 $\equiv$ 0 (mod p^3) CE QUI EST ABSURDE !

Donc p-1<=2, c'est à dire p<=3 et en fait p=3 . ce qui donne une nouvelle solution (3,3) .

Finalement l'ensemble des solutions est (1,p), (2,2) , (3,3) .

ça va ?

Posted by: yos

Citation:

Posté par BancH

Tout couple $(n,p)$ de la forme $n^{p-1}=p$ est solution.

Mais c'est juste une condition suffisante.

Comment tu veux avoir une égalité pareille avec p premier?

Posted by: BancH

Ah oui $p$ est premier... erf :p