On a une fonction f continue telle que pour tout x de l'intervalle I, et
pour tout e>0, il existe y dans ]x,x+e[ tel que f(y)>=f(x). il s'agit de
montrer que f est croissante (strictement croissante si on suppose
f(y)>f(x)).
J'ai une demonstration par contraposee, en supposant f(v)<f(u) pour u<v,
et en parlant du maximum de f sur [u,v] et en aboutissant a une
contradiction.
Voyez-vous une demonstration directe, basee par exemple sur un
recouvrement d'un compact inclus dans I par des intervalles sur lesquels f
est croissante ?
> On a une fonction f continue telle que pour tout x de l'intervalle I, et
> pour tout e>0, il existe y dans ]x,x+e[ tel que f(y)>=f(x). il s'agit de
> montrer que f est croissante (strictement croissante si on suppose
> f(y)>f(x)).
>
> J'ai une demonstration par contraposee, en supposant f(v)<f(u) pour u<v,
> et en parlant du maximum de f sur [u,v] et en aboutissant a une
> contradiction.
>
> Voyez-vous une demonstration directe, basee par exemple sur un
> recouvrement d'un compact inclus dans I par des intervalles sur lesquels f
> est croissante ?
Si I=[a,b], on pose E_x={y\in[x,b]; f(x)<=f(y)} et tu montres que par
connexité E_x=[x,b].