Critere de convergence

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Posted by: Rominet

Bonjour,

J'ai un petit probleme qui ne doit pas etre super compliqué mais la j'ai plus trop d'idées... :confused:

J'ai une suite de vecteurs (Xi) à valeurs dans C^n qui converge a une constante multiplicative complexe pres vers X (aussi dans C^n).
En gros la suite de vecteurs (Xi) *prend la direction* du vecteur X, mais la constante change a chaque itération.
Ma question est la suivante : Je voudrais mesurer la convergence de ma suite avec un critere du type norme euclidienne dans C^n. Comment est ce que je peux faire ca ??
(*evidemment* n est strictement plus grand que 1) :D


Posted by: cesar

Citation:
Posté par Rominet
Bonjour,

J'ai un petit probleme qui ne doit pas etre super compliqué mais la j'ai plus trop d'idées... :confused:

J'ai une suite de vecteurs (Xi) à valeurs dans C^n qui converge a une constante multiplicative complexe pres vers X (aussi dans C^n).
En gros la suite de vecteurs (Xi) *prend la direction* du vecteur X, mais la constante change a chaque itération.
Ma question est la suivante : Je voudrais mesurer la convergence de ma suite avec un critere du type norme euclidienne dans C^n. Comment est ce que je peux faire ca ??
(*evidemment* n est strictement plus grand que 1) :D

bonjours,

norme tes vecteurs et considere la suite Vi=Xi/|Xi| qui va converger vers V=X/|X| .

avec comme critere de convergence la norme de |Vi - V|< Epsilon


Posted by: Rominet

Re-Bonjour,

Merci pour la réponse rapide :D
Seulement c'est un peu plus compliqué que ca, la constante (complexe!) change à chaque itération.... du coup ta suite (Vi) ne converge pas vers V (l'argument de la constante est toujours présent)

Je me demandais tout a l'heure si la norme euclidienne etait le bon critere... Ma suite ne converge pas au sens propre, les Xi *prennent la direction* du vecteur X
:confused:
Ptet que je pourrais plutot prendre l'angle comme critere pour mesurer la distance entre Xi et X (dans C^n, ca va de soi)
:confused:


Posted by: quinto

Bonjour,
justement la réponse de Cesar me semble appropriée à ton problème, puisque la norme de ta suite est toujours de 1.
Notamment ici c'est en quelque sorte un angle que tu as en calculant Xi/|Xi|.


Posted by: cesar

faudrait peut être qu'il nous donne l'expression des vecteurs, on comprendrait peut etre mieux son problemes.. :confused:


Posted by: Non inscrit

la convergence ne dépend pas de la norme dans un espace vectoriel de dimension finie (elles sont toutes equivalentes), ta suite elle converge ou elle converge pas, le problème de la constante ne devrait même pas se poser, il suffit de prendre une norme comme par exemple l'euclidienne et vérifier que la distance tend bien vers 0... c'est tout


Posted by: Non inscrit

a moins que tu veuilles mesurer l'angle pour la covergence auquel cas la réponse qu'on t'as donné est bien... si y a pas convergence en norme il suffit de normer... non?


Posted by: Rominet

Bonjour,

Bon le probleme c'est que ca converge pas *vraiment* (houla je parle comme un physicien) :D

En fait j'utilise la methode de la puissance pour obtenir le vecteur propre correspondant a la plus grande valeur propre d'une Matrice A.
Le procédé est le suivant :
Je prends un vecteur U(0) quelconque. Comme les elements de A sont des variables aleatoires U(0) n'appartient jamais a Ker(A) et le sous espace correspondant a la plus grande valeur propre est de dimension 1.
Pour tout n, U(n+1)=A*U(n)/norme(A*U(n)).
Quand n tend vers +inf, la suite U(n) s'aligne sur la direction du vecteur propre U correspondant a la plus grande valeur propre.

Maintenant ce que je cherche : j'aimerais trouver un critère qui me permette de dire si l'estimation du vecteur propre est *proche* de la direction *vraie* dans l'espace. En particulier je voudrais regarder ce qui se passe pour les petites valeurs de n. Comme un vecteur propre est défini dans un espace complexe a une constante multiplicative complexe pres, je ne peux pas directement regarder norme(U(n)-U)

C'est plus clair? :confused:


Posted by: cesar

dans ce cas, je pense à une autre methode, mais qui depend fortement de A : il faut utiliser le polynome minimal de A et ecrire A^n comme un polynome de A, avec des coefficients qui dependent de n. Alors on peut voir de pres l'évolution d'un vecteur U(0) quand il devient U(n), voire même trouver la limite.


Posted by: Dieudonné

Citation:
Posté par cesar
norme tes vecteurs et considere la suite Vi=Xi/|Xi| qui va converger vers V=X/|X| .

avec comme critere de convergence la norme de |Vi - V|< Epsilon


le critere est plutot inf( |Vi - V|, |Vi + V|) < eps, car x/|x| et -x/|x| ont meme direction.

Si u_n tend en direction vers un vp, ||u_n|| - \frac{u_n^TAu_n}{||Au_n||} tend vers zero (c'est pas loin d'etre le coeff de Rayleigh je me souviens plus tres bien)










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