Qqn pourrai donner un exemple concret d'une serie qui verifie le critere de Cauchy :
tel que on a
C'est que je sais pas comment l'appliquer..
Merci.
Posted by: thedream01
tout comme pour les suites: toute série convergente vérifie le critère de Cauchy!
Pour l'application du critère de Cauchy, c'est exactement comme pour les suites: pour cela, il suffit de considérer la suite des sommes partielles...
ie: u(n)=v(1)+v(2)+...+v(n).
Posted by: mehdi-128
Bonjour ,sur ce sujet comment montrer par le critère de Cauchy que la série des
(-1)^n*x^n converge ??
Posted by: thedream01
bein converge où? pour x=1, elle diverge!!!
Sur ]-1,1[, tu calcules le rayon de convergence et tu vois que ça converge!!!
Posted by: mehdi-128
Désolé je voulais dire ne converge pas uniformément sur [0,1[......
Posted by: thedream01
je pose Un(x)=(-1)^n * x^n.
La suite de fonctions Un converge simplement vers 0.
On peut montrer que si la série de fonction Un converge uniformément sur [0,1[, alors la suite de fonction Un converge uniformément vers 0 sur [0,1[.
Or Sup||Un(x)-0||=Sup(x^n) sur [0,1[ = 1
D'où: pas de convergence uniforme sur [0,1[.
Posted by: fahr451
une autre façon (plus générale quand la série diverge en 1 alors que le terme général en 1 tend vers 0 )
la convergence uniforme sur [0,1[ signifie exactement que la suite Sn vérifie le critère de cauchy uniforme sur [0,1[ id est
sup l Sn(x) -Sp(x) l -> 0 qd n,p -> +inf où le sup est sur [0,1[ or le sup sur [0,1[ est celui sur [0,1] par continuité de Sp et Sn
donc l Sn(1) -Sp(1) l ->0 n,p->+inf ce qui signifie que Sn(1) converge
ce qui n'est pas
Posted by: thomasg
Bonsoir,
notons S(n) la série que tu souhaites étudier
||S(n+3)-S(n)||=1 pour tout entier n. (où || || désigne la norme infinie pour x dans ]-1;1[)
Donc le critère de Cauchy uniforme
Pour tout e il existe N tel que n,m>N entraine ||Sn-Sm||<e
n'est pas vérifié.
La série n'est donc pas convergente uniformément sur ]-1;1[.
Par contre elle l'est pour tout fermé de cet intervalle.
En espérant avoir répondu à ta question sans raconter trop de bêtises.
A bientôt.
PS: désolé ma réponse arrive après la bataille mais dans mon hameau on est encore en bas débit.
![\forall \epsilon >0,\exists\ n_0 \in N\](http://www.maths-forum.com/images/latex/fdb23cfbd5c1a1d9a3fddd51d3ff7299.gif "\forall \epsilon >0,\exists\ n_0 \in N\")
tel que 
on a 