Courbure

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Posted by: jeje56

Bonjour,
J'ai réussi la a) mais je bloque sur la b) : quelqu'un a-t-il une idée ? Merci ;-)
http://img99.imageshack.us/img99/6808/courbureno5.jpg


Posted by: jver

Citation:
Posté par jeje56
Bonjour,
J'ai réussi la a) mais je bloque sur la b) : quelqu'un a-t-il une idée ? Merci ;-)
http://img99.imageshack.us/img99/6808/courbureno5.jpg



Si je ne m'abuse, tu as (je simplifie, s_0=\theta_0=x_0=y_0=0 )
\theta= 2 \arctan(s)

Tu reportes dans x et tu obtiens:
x= \int \frac{1}{\sqrt(1+s^2)}=argsh (s)

et tu continues ...


Posted by: jeje56

Quand tu reportes dans x : comment passes tu de cos(2arctan(s)) à 1/(1+s²)^1/2 ?


Posted by: alavacommejetepousse

bonjour
c'est ce qu'on appelle des équations intrinsèques
courbure en fonction de l'abscisse curviligne


Posted by: jeje56

Lol ok... Comment arrive t-on a 1/(1+s²)^1/2 ?


Posted by: jver

Citation:
Posté par jeje56
Quand tu reportes dans x : comment passes tu de cos(2arctan(s)) à 1/(1+s²)^1/2 ?



en me trompant, bien entendu! j'avais, dans ma folie simplificatrice, oublié le "2"

Je reprends, en essayant de ne pas me gourer:
\theta=\int \frac{2}{1+s^2}ds= 2 Arctg(s)
x=\int \cos(2 Arctg(s))ds=\int \frac{1-s^2}{1+s^2}ds (passage à l'angle moitié)
x=2 Arctan(s)-s

Vérifie, mais, pour y, il me semble que tu devrais avoir
y=\int \sin(2Arctan(s))ds=\int \frac{2s}{1+s^2} ds=Log(1+s^2)


Posted by: jeje56

Désolé d'insister, peux tu détailler pr le passage à langle moitié? Je ne vois pas...


Posted by: alavacommejetepousse

sans présumer de ce qui a été fait
on a les formules usuelles

dx = cos a ds le a noté dans ton exo théta se note normalment phi angle entre le vecteur i et le vecteur tangent


dy = sin a ds

C = da / ds

et le bon paramètre est normalement a et non s

ici da = 2ds (1+s^2) donc a = 2 arctan (s) ( en enlevant les constantes d'intégration) donc s = tan (a/2) puis ds = da/[2cos^2 (a/2) ]
puis dx = cos (a) ds donne

dx = cos (a) da /[2 cos^2(a/2) ] = [2cos^2 (a/2) - 1]/( 2cos^2(a/2)]

et x = a - tan(a/2) +cst

dy = sina da /(2cos^2(a/2) = sin(a/2) da / cos(a/2)

et y = -(1/2) ln l cos (a/2) l + cst

les courbes se déduisent les unes des autres par déplacement


Posted by: jver

Citation:
Posté par jeje56
Désolé d'insister, peux tu détailler pr le passage à langle moitié? Je ne vois pas...


Tu utilises:
\cos(2t)=\frac{1-\tan^2(t)}{1+\tan^2(t)}
Donc:
\cos(2 Arctan(s)=\frac{1-s^2}{1+s^2}

idem pour l'autre


Posted by: jeje56

Ca marche merci ;-) Dernière question : comment prouver l'unicité de M ? J'en demande beaucoup lol

Merci


Posted by: jeje56

Personne ne peut m'aider pour la dernière ?

Merci !


Posted by: Joker62

Ben comme d'habitude :D
Suppose donc qu'il y en a deux :)

Merci pour cet exo en tout cas ;) je sens bien un de ce genre pour mes partielles :)
Si t'as des exos sur d'la géo-diff j'suis preneur :)


Posted by: Joker62

Hello ;)
J'ai fait ton exo, mais contrairement à toi, j'ai un ptit beug au niveau de la question a)

Donc pour montrer que c'est rectifiée, pas de problème, ainsi, pour calculer la courbure, il suffit de calculer la norme de la dérivée seconde, et là je trouve donc que N(M'') = Abs(k)

Je ne vois pas trop comment faire la distinction de cas; surtout que l'énoncé ne suppose nullement la fonction k positive, bon même si à fortiori, elle doit l'être, étant une courbure.

Comment as-tu conclu toi ?


Posted by: Maxmau

Citation:
Posté par jeje56
Ca marche merci ;-) Dernière question : comment prouver l'unicité de M ? J'en demande beaucoup lol

Merci

Bj
Montre que 2 solutions du Pb vérifient la même équa diff avec les mêmes conditions initiales


Posted by: jeje56

Citation:
Posté par Joker62
Hello ;)
J'ai fait ton exo, mais contrairement à toi, j'ai un ptit beug au niveau de la question a)

Donc pour montrer que c'est rectifiée, pas de problème, ainsi, pour calculer la courbure, il suffit de calculer la norme de la dérivée seconde, et là je trouve donc que N(M'') = Abs(k)

Je ne vois pas trop comment faire la distinction de cas; surtout que l'énoncé ne suppose nullement la fonction k positive, bon même si à fortiori, elle doit l'être, étant une courbure.

Comment as-tu conclu toi ?


La norme de l'accélération pour la courbure est valable uniquement quand le paramètrage est par longueur d'arc... Ici utilise courbure=det(M',M'')/||M'||^3 ;-)


Posted by: jeje56

Autant pour moi on a montré que c'était par longueur d'arc... J'ai trouvé avec la deuxième relation ci dessus...










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