Courbe de gauss

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Posted by: michtech

Bonjour je suis professeur de technologie et je suis en train de lire un mémoire professionnel d'un stagiaire sur l'évaluation. Il a utilisé une courbe de Gauss pour le renseigner sur la manière de distribuer ses notes dans une classe.
Mais je me pose une question : "normalement" on doit faire un test de normalité cad vérifier que l'on
suppose être en présence d'une distribution normale??
Je n'ai jamais été très bon en mathématiques mais j'aimerais savoir si l'utilisation de cet outil est pertinant?

Merci beaucoup de vos réponses.


Posted by: cesar

heu !!! tout depend de l'effectif de la classe. En fait, toutes les lois de repartitions tendent vers la gaussienne, des que l'effectif est assez grand. C'est un probleme tres delicat. Il s'agit du theoreme de la limite centré ou encore central-limit de lindeberg-levy.

"soit (Xn) n element de N-{0}, une suite de V.A.R. définies sur (omega, B, P), toutes de même loi, ayant une esperance m et une variance sigma*sigma et supposées 2 à 2 mutuellement independantes.

posons : quelque soit n dans N -{0}, Sn = somme de 1 à n des Xi et Zn=Sn/n
et
Tn = (Zn-m)/(sigma/racinecarré(n))
alors la suite des Tn converge en loi vers une variable normale centrée réuite."

en plus simple, il y a le theoreme de Moivre Laplace,qui dit la meme chose, mais dans un cas moins general : celui des variables de bernoulli independantes de meme loi : la suite Sn des variables B(n,p), de met sous forme centrée reduite TN= (Sn-n*p)/(racine(p*(1-p)) et Tn converge en loi vers la gaussienne normale centrée reduite.
mais pour que tout cela marche, il faut que :

np>10 ou n>20 et p proche de 0.5
de plus, il faut un bon estimateur de la moyenne np et de l'écart type sigma, ce qui implique aussi un effectif minimal à respecter.... mais ceci est une autre histoire


Posted by: michtech

Merci beaucoup César car je désespérais d'une réponse.
L'effectif de sa classe est de 26 élèves.
Moi j'aimerai juste que le stagiaire puisse me justifier de l'utilisation de cet outil, car dans som mémoire professionnel, la courbe intervient sans explication pour voir comment il distribuait ses notes dans la classe après son premier contrôle de technologie. Ensuite il a réalisé les courbes de Gauss de toutes les autres matières et comparé avec la sienne.
Certaines ne correspondent pas du tout à une courbe dite "en cloche". Et peut-on comparer toutes ces courbes sachant que les notes obtenues pour tracer ces courbes n'évaluent pas les mêmes compétences.

Alors, j'ai poussé un peu mes recherches sur le net et j'ai trouvé cet article :

Voilà le lien
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_no..._normalit.C3.A9

sur les critères de normalité.

Donc peut-on dire que l'outil utilisé n'est peut-être pas pertinent?

Merci de vos réponses à ces questions!!


Posted by: cesar

Citation:
Posté par michtech
L'effectif de sa classe est de 26 élèves.
Moi j'aimerai juste que le stagiaire puisse me justifier de l'utilisation de cet outil, car dans som mémoire professionnel, la courbe intervient sans explication pour voir comment il distribuait ses notes dans la classe après son premier contrôle de technologie. Ensuite il a réalisé les courbes de Gauss de toutes les autres matières et comparé avec la sienne.
!!


l'effectif de 26 eleves est effectivement insuffisant pour l'hypothese de la limite gaussienne. Dans ce cas, s'il faut justifier une loie de repartition, je conseillerai l'utilisation d'un test d'adequation, en particulier un test d'ajustement. Le test "bateau" dit du "khi2" (lettre grecque khi, indice 2) est une sorte de "bonne à tout faire", car c'est un test d'homogenité, d'independance et d'ajustement. C'est cette derniere propriété qui nous interesse ici. Il est helas delicat et fastidieux à appliquer, mais il est "robuste". C'est quasi impossible de vous expliquer toute la theorie ici, mais seulement des grandes lignes. Pour faire le test d'adéquation de la loi gaussienne, il faut d'abord diviser les échantillons en "classes" (pas en classes scolaire, il s'agit d'une partition d'un ensemble...). Ici vient la premiere difficulté : il faut faire un plus grand nombre de classes, tout en ayant des classes assez vastes, ce qui est contradictoire. en general, pour n>=200 on prend k classes = n/5 ...et on recommande de ne pas regrouper les classes extremes, meme si l'effectif est inferieur à 5, car un bon accord avec ces classes justifie l'ajustement... (boujour le travail "au pif"...)
ensuite, on determine le nombre de degrés de liberte (v= k -r -1), avec k, le nombre de classes, r le nombre de parametre (ici r=2, soit la moyenne et l'écart type...) et on calcule la valeur de la fonction Khi2. A partir de là, on fixe le seuil de confiance du test, en general, on prend un seuil Probabilité = 0.05 tel que le kh2 soit superieur à C-alpha. C-alpha est donné par les valeurs tabulées de khi2 (en fonction de v). C'est à dire qu'il y a 1-0.05 = 0.95 = 95% de probabilité que le khi2 soit inferieur à C-alpha. Si le khi2 est superieur à C-alpha, l'ajustement n'est pas bon et la gaussienne refusée, si il est en dessous, il est accepté et la loi gaussienne justifiée.

autre point à regarder pour l'ajustement : il faut la fonction "candidate à l'ajustement", soit :

pour le cas qui nous occupe, il faut estimer proprement la moyenne et l'écart type de la loi.
pour cela il faut utiliser un estimateur. Il se trouve que dans la cas de la moyenne, l'estimateur efficace et sans biais de la moyenne probabiliste est ... la moyenne statistique... Donc,la moyenne probabiliste est considérée égale à la moyenne statistique.
dans le cas de l'écart type, c'est legerement plus compliqué : il faut utiliser le "sigma n-1". ou pour etre plus clair, l'ecart type probabiliste peut etre estimé de maniere efficace et sans biais par la formule statistique :
ecart type = racine carre de (somme sur i (xi-m)^2/(n-1))
alors que l'écart type statistique est :
ecart type = racine carre de (somme sur i (xi-m)^2/n)
on estime donc l'écart type probabiliste à partir de l'écart type statistique en faisant : ecart type proba = (ecart type stat)*racine carree(n/(n-1)). En general, les eleves qui ont lu leur cours en travers se plantent tous à ce niveau...

cela donne la formule de la loi gaussienne à soumettre au test du khi2...

il existe un autre test que le khi2 dans le cas d'une loi continue, c'est le test d'ajustement de Kolmogorov.
Il est un peu plus simple que le khi2, mais moins courant d'usage. il fonctionne suivant une methode analogue.
Dans ce cas, il faut aussi estimer les parametres de la gaussienne et contruire la statistique de la fonction de Kolmogorov.
On fixe alors le seuil de confiance (0.05, comme pour le khi2...) et on dit, la proba de depasser ce seuil correspond à la valeur de la fonction de Komogov donnée par la table. si elle est depassée, la loi est rejetée, sinon, elle est acceptée avec une confiance de 95 %... c'est presque le meme principe que le khi2..


Posted by: michtech

Merci encore César.
Je n'ai pas tout compris sur le dernier message mais je suis sûr maintenant que l'utilisation de cette courbe de Gauss a juste servi à nous en mettre un peu "plein la vue" et non à être un outil pertinent (il aurait aussi bien pu utilisé un histogramme standard).
Auriez vous un exemple concret de l'utilisation de cette courbe de Gauss pour en expliquer son utilité! merci
en tout ca, ça m'a permis de me remettre un peu la tête dans les maths et je viens de découvrir un forum bien sympa :)
Merci


Posted by: nuage

Salut,
pour autant que je sache cette fonction a été introduite par Laplace et par Gauss pour étudier les erreurs de mesure.
Elle a ensuite connu un certain succès en sociologie avec Quetelet et la théorie de "l'homme moyen", le QI est aussi basé sur ce type de théorie.
Une référence sans maths : "la politique des grands nombres" par Alain Desrosières aux éditions La Découverte (poche).
Elle est à la base de la théorie des sondages et elle est constamment utilisée dans le domaine industriel, où les variations ont, en principe, de nombreuses petites causes aléatoires qui s'additionnent.


Posted by: michtech

Merci beaucoup nuage!
Je prends bonne note de tout ce que vous venez de me dire.

A bientôt


Posted by: cesar

Citation:
Posté par nuage

Elle est à la base de la théorie des sondages et elle est constamment utilisée dans le domaine industriel, où les variations ont, en principe, de nombreuses petites causes aléatoires qui s'additionnent.


tout à fait d'accord et dans des tas d'autres applications, au point que l'on parle parfois d'abus de l'usage de la gaussienne...


Posted by: nuage

Abus dont michtech nous a donné un exemple.
Mais il y en a beaucoup d'autres...
Et pour excuser l'étudiant de michtech je dirais que c'est une tendance lourde dans l'administration.
L'incompétence en matière d'évaluation se réfugie derirère la technique mathématique (mal maitrisée).
Il me semble en particulier évident que les notes d'une classe de 30 élèves n'ont aucune raison d'avoir une distribution gaussienne (normale). Bien qu'un certain nombre de proviseurs soit persuadé du contraire.
Sur 30 données le test du chi2 et celui de Kolmogorov ne distinguent pas vraiment une distribution en triangle (voir une distribution uniforme) d'une distribution gaussienne.

A+


Posted by: cesar

Citation:
Posté par nuage
Sur 30 données le test du chi2 et celui de Kolmogorov ne distinguent pas vraiment une distribution en triangle (voir une distribution uniforme) d'une distribution gaussienne.

A+

oui et non . Le test du chi2 peut servir à rejeter une des lois comme impropre, mais il ne donne pas la proba d'erreur si l'on accepte la loi comme valide. En fait, il y a deux types d'erreurs et il ne permet que d'en juger un seul...
a) on refuse une loi comme bonne, alors qu'elle l'est ---> 95 % d'avoir raison(dans le cas que j'ai cité..)

b) on accepte une loi comme bonne, alors qu'elle ne l'est pas ---> proba inconnue... d'où impossibilité de distinguer les lois qui sont proches...

je crains que l'on touche ici à la limite du systeme et pas seulement pour le test chi2.....personnellement je ne connait pas de methode qui reponde au b) dans le cas du chi2 et des autres tests...si quelqu'un connait, je suis interessé...


Posted by: michtech

re bonjour amis mathématiciens!!!

Pour approfondir ma culture gaussienne avez vous des exemples d'applications de cette courbe de gauss simple et concrets ou des domaines d'applications?????
,Je sais qu'elle est utilisée pour des incertitudes de mesures.

Merci de vos lumières:!!!!

Michel


Posted by: cesar

les sondages et stats sur les populations (humaine, animale, vegetale) sont une des applications...
par exemple, les soirs d'elections, les sondages "sorties des urnes" sont tres précis (bien plus que les sondages d'opinion...) et reposent sur gaussienne.
mais aussi :
le nombre de pieces de defectueuses d'une serie fabriquée par une marchine...
(mais il faut un grand nombre...)
le nombre d'ampoule qui tombent HS dans un reseau d'éclairage public...

le nombre de fissures dans une poutre en beton armée soumise à un effort tranchant : elles se repartissent suivant une loie gaussienne..

plus subtil et moins utile :
si on aime le loto (celui où l'on tire 7 boules numerotés...) : si on calcule la frequence theorique de sortie des nombres seuls, des doublets, des triplés, quadruplés...ect...
les resultats statistiques se repartissent autour de la moyenne theorique suivant une loie gaussienne (de prime abord, cela n'a rien d'évident...).


Posted by: michtech

Merci beaucoup César...

C'est très agréable de lire tes réponses rapides!! Je n'hésiterai pas à conseiller ce forum!!!!










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