Mathématiques - du cour..

du cour..
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Posted by: sue

Bonjour,

j'ai quelques questions du cour ..

1- a-t-on $\exist f : E\rightarrow F$ injective $\Rightarrow \exist g F \rightarrow E \;surjective$ ?

2- je ne comprends pas une preuve dans mon cour !

on veut ontrer par reccurence que : $H_n"\forall p\in N* \exist f : N_p \rightarrow N_n injective \;\Rightarrow p \leq n "$

pas de prob pour l'initialisation .
sinon voilà la suite :
soit $n \geq 1$ on suppose que $H_1 , H_2 ,..,H_n$ sont vraies et mq $H_{n+1}$ l'est aussi .
- $\forall y \in N_{n+1} \exist x\in N_p$ tq $y=f(x)$ , ie f est surj et f inj dc f est bij .
- sinon $\exist y_0 \in N_{n+1} \forall x\in N_p$ : $y_0 \neq f(x)$ .
on considère $h: N_{n+1} \rightarrow N_{n+1}$ tq $h(y_0)=n+1$ et $h(n+1)=y_0$ et $\forall x$ différent de $y_0 , n+1$ $h(x)=x$ , dc h bij ie surj .
on pose $g=hof$ on a donc g inj
"on a $\forall x \in N_p$ , $g(x)\neq n+1$ ( à partir de là je suis perdue

)
$\exist x_0 \in N_p$ tq $g(x_0)=n+1$
$\Rightarrow h(f(x_0))=n+1 \Rightarrow f(x_0)=h(n+1)=y_0$

on note $g' : N_p \rightarrow N_n , n \rightarrow g'(x)=g(x)$
on a g' inj
finalement $H_n \Rightarrow p \leq n \Rightarrow p \leq n+1$ "

je ne comprends pas bien le raisonnement !!

Merci

Posted by: Rain'

Soit f de E dans F injective.

On pose g de F dans E telle que :

g(x) = f^-1(x) (antécédent de x par f qui est unique par injectivité de f) si existence.

Dans le cas contraire ou il n'existe pas de y dans E tel que f(y) = x, on peut prendre une valeur arbitraire pour g(x).

Vérifions que g est surjective :
Soit y dans E, on a : y = g(f(y)) d'où la surjectivité.

Ca se voit clairement en dessinant deux ensembles avec des croix à l'intérieur qui représentent les éléments des ensembles et en les reliant entre elles.

Posted by: sue

d'accord ! merci Rain' .

sinon t'as eu une idée sur ce qu'on a fait à la fin de la preuve ?

Posted by: Rain'

il manque pas le terme injectif dans l'énoncé ?

Posted by: sue

biensûr , désolée !

Posted by: pianozik

c'est ce que j'avais remarqué

Posted by: sue

Ok , j'ai trouvé une autre dém' plus claire .

mais sinon j'ai une autre question apparemment simple mais je vois rien pr le moment .

je cheche à déteriner cet ensemble : $\{y\in R* , \frac{e^x}{x}=\frac{e^y}{y} \}$

Posted by: fahr451

Citation:

Posté par sue

Ok , j'ai trouvé une autre dém' plus claire .

mais sinon j'ai une autre question apparemment simple mais je vois rien pr le moment .

je cheche à déteriner cet ensemble : $\{y\in R* , \frac{e^x}{x}=\frac{e^y}{y} \}$

bonsoir

x est fixé donné je présume

étudie les variations de f , f(y)= exp (y) /y et discute suivant x le nombre de solutions c'est tout ce qu'on peut raisonnablement faire