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Correction Série
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Posted by: sandrine_guillerme

Salut tout le monde

1/

$\left ( \frac{z^n}{ln(n)} \right )$ là j'ai dis que la suite des sommes partielles $\sum_{k=0}^n z^k$ est bornée car suite géométrique de somme égale $\left ( \frac{|1-z^{n+1}|}{|1-z|} \right ) <= \left ( \frac{2}{|1-z|} \right )$
et l'application $ln x$ décroissante vers 0 :
Le théorème d'Abel s'applique donc la série converge .

2/

$z^n tan{\frac{1}{n sqrt{n}}}$ la c'est pareil pour $z^n$ mais pour $tan{\frac{1}{n sqrt{n}}}$ il n y a t il pas de méthode ou astuce intelligente a part étudier la fonction pour dire qu'elle décroit vers 0 (afin d'appliquer Abel bien sur ?)

4/ $\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ sont équivalente ? elles sont de même nature ?
Pour l'équivalence j'ai appliquer la définition il faut prouver mais je ne vois pas le n'

je sais qu'ils ont la même limite mais je ne vois pas du tout comment faire !

Aidez moi?

Aidez moi svp?

Merci

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

1/ $\left ( \frac{|1-z^{n+1}|}{|1-z|} \right ) <= \left ( \frac{2}{|1-z|} \right )$

A condition que $\Large |z|\le 1$ et que z différent de 1.

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

et l'application $ln x$ décroissante vers 0

Plutôt : et l'application $\frac{1}{\ln(x)}$ décroissante vers 0

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

il n y a t il pas de méthode ou astuce intelligente a part étudier la fonction pour dire qu'elle décroit vers 0

Ben, si $\Large x \to 0$ tan(x) est équivalent à x
Donc si $\Large n \to \infty$ alors $\Large \frac{1}{n\sqrt{n}} \to 0$ et $\Large \tan(\frac{1}{n\sqrt{n}})$ est donc équivalent à $\Large \Large \frac{1}{n\sqrt{n}}$

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

$\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$

Ces deux suites ne sont pas équivalentes ! Mais qu'entends-tu par "de même nature" ?

Posted by: sandrine_guillerme

Merci pour tes réponses eh oui pr ln je m'etais trompée .;

Sinan

Citation:

Posté par Quidam

Ces deux suites ne sont pas équivalentes ! Mais qu'entends-tu par "de même nature" ?

pourquoi tu dis qu'elle ne le sont pas???? pourtant moi je vois le contraire (coté intuitition quoi) mais si tu pourrais m'eclaircir ça serais gentil..
et quand je dis qu'elle sont de même nature ça veut dire soit elle convergent les deux ou bien diverge !

Merci beaucoup de me guider !!

Posted by: nuage

Salut,

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Je n'ai pas étudié les séries que tu proposes, mais pour guider l'intuition tu peux comparer la nature des séries de terme général $\frac1{n^2}$ (convergente) et $\frac1{n^2}+\frac1{n}$ .

A+

Posted by: sandrine_guillerme

salut nuage ..

mais je ne suis pas convaincu tu as majoré e/racine(n) par 1/n^2 Mais pourquoi? .. Et ça nous permettra de conclure quoi?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Merci pour tes réponses eh oui pr ln je m'etais trompée .;

Sinan

pourquoi tu dis qu'elle ne le sont pas???? pourtant moi je vois le contraire (coté intuitition quoi) mais si tu pourrais m'eclaircir ça serais gentil..
et quand je dis qu'elle sont de même nature ça veut dire soit elle convergent les deux ou bien diverge !

Merci beaucoup de me guider !!

Elles convergent toutes deux vers 0 : je pense que c'est quasiment évident, tu es d'accord ?

Par contre on dit qu'elles sont équivalentes lorsque leur rapport tend vers 1, et là aussi, ce ne peut être le cas, car le rapport de la deuxième à la première peut certes s'approcher de 1 très près, mais il n'est borné par aucune constante, il peut arriver qu'il soit plus grand que n'importe quel nombre fixé à l'avance...
Il me semble t'avoir vu écrire quelque chose à ce sujet dans un fil récent ; je ne suis pas intervenu car il y avait déjà pas mal de monde sur le fil... Mais l'équivalence de deux suites n'est pas mesuré par leur différence (tendant vers 0) mais plutôt vers leur rapport, qui doit tendre vers 1 !
Va voir sur wikipédia : c'est bien cela la définition !
Par exemple $\Large U(n)=n$ et $\Large V(n)=n+\sqrt{n}$ tendent toutes deux vers l'infini lorsque n tend vers l'infini. Leur différence tend vers l'infini, mais elles sont tout de même équivalentes car leur rapport tend vers 1.
J'espère que cela va t'éclairer.

Posted by: Quidam

Un doute me prend soudain à la lecture du post de nuage. Je parlais bien sûr des suites $\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ que tu as mentionnées. Je n'ai pas eu le temps, (je n'y ai même pas pensé à vrai dire) de répondre pour les séries. Et j'ignore si les séries sont ou pas équivalentes !
A priori, il me semble que la série de terme général $\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ converge, et que la série de terme général ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ est divergente, mais je n'ai pas eu le temps d'étudier cela à fond...

Posted by: Quidam

Après une nuit de réflexion (!), je réalise que j'ai réellement répondu trop vite ! Je confirme donc d'une part que je parlais des suites $\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ et que tu parlais des séries de termes généraux respectifs $\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ . D'ailleurs, j'avais bien spécifié "les suites...", mais je pense que ce ne sont pas les suites qui t'intéressent ! Navré pour cette bévue !

Donc, en ce qui concerne les séries, je pense que la série de terme général $U_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ est convergente, si $\Large \theta$ n'est pas égal à $\Large 2k\pi$ . Cela se "voit" géométriquement, si l'on représente les valeurs des sommes partielles $\Large V_n=\sum_{i=0}^n U_i$ dans le plan complexe. Les points représentant les $\Large V_n$ vont suivre une sorte de spirale de "rayon" de plus en plus petit...Malheureusement, ce n'est évidemment pas une démonstration et je n'ai pas encore trouvé comment le prouver. D'un autre côté, étant donné la divergence de la série 1/n, la convergence de la série de terme général $U_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ (une fois que cela sera prouvé) aura pour conséquence immédiate la divergence de la série de terme général $U'_n={\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ : il suffira d'écrire les sommes partielles $\Large V'_n=\sum_{i=0}^n U'_n = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}) = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}) +\sum_{i=0}^n (\frac{1}{n})$ pour s'en convaincre.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Quidam

Donc, en ce qui concerne les séries, je pense que la série de terme général $U_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ est convergente, si $\Large \theta$ n'est pas égal à $\Large 2k\pi$ . Cela se "voit" géométriquement, si l'on représente les valeurs des sommes partielles $\Large V_n=\sum_{i=0}^n U_i$ dans le plan complexe. Les points représentant les $\Large V_n$ vont suivre une sorte de spirale de "rayon" de plus en plus petit.

Tu peux me dire tu l'a taper sous quel logiciel? je travaille sur Maple ou Scilab ça serais sympa de me donner la commande pour ldessiner la courbe ?

Citation:

Posté par Quidam

(...)Malheureusement, ce n'est évidemment pas une démonstration et je n'ai pas encore trouvé comment le prouver. D'un autre côté, étant donné la divergence de la série 1/n, la convergence de la série de terme général $U_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ (une fois que cela sera prouvé) aura pour conséquence immédiate la divergence de la série de terme général $U'_n={\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ : il suffira d'écrire les sommes partielles $\Large V'_n=\sum_{i=0}^n U'_n = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}) = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}) +\sum_{i=0}^n (\frac{1}{n})$ pour s'en convaincre.

Je crois que c'est bon je l'ai trouvé .. j'ai appliquer le critère D'Abel .. car la suite des somme partielle e^{in\theta} est borné et frac({1}{sqrt(n)} est décroissante vers 0 (bien sur on va pas étudier les series en tant que tel mais on va tout simplement faire l'etude d'une séries de fonction .. donc la séries converge !

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Tu peux me dire tu l'a taper sous quel logiciel? je travaille sur Maple ou Scilab ça serais sympa de me donner la commande pour ldessiner la courbe ?

Le logiciel le plus rapide du monde : conception, écriture, mise au point, exécution et visualisation des résultats : tout compris cinq secondes !

C'est dans la tête que j'ai fait ça ! Je n'ai pas dessiné la courbe, je l'ai visualisée en regardant au loin l'horizon...En fait, il est facile d'imaginer les points $\Large e^{i n\theta}$ qui se trouvent sur le cercle de centre O et de rayon unité, avec des angles $\Large \theta$ successifs qui les séparent...Ensuite, j'imagine les mettre bout à bout, pour voir à quoi ressemblent les sommes partielles : ça va faire une sorte de polygone régulier...qui n'en est d'ailleurs pas un dans le cas général où $\Large {\theta}{\pi}$ est irrationnel. Enfin j'applique le facteur $\Large \frac{1}{\sqrt{n}}$ qui a pour effet de rapetisser chaque côté de plus en plus...D'où l'idée que ça doit faire une spirale...

Mais si tu veux, je peux te la dessiner aussi, en C++ (Maple, Scilab, connait pas !) !

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Quidam

Le logiciel le plus rapide du monde : conception, écriture, mise au point, exécution et visualisation des résultats : tout compris cinq secondes !

Tu as de la chance moi .. mouarf.. jarrive pas a voir comment on pourrais faire niveau dessin .. j'aimerais bien l'avoir un jour .. parceque dans ce cas la, la moitié des probleme que j'ai en tete en analyse seront résolus.. c'est pour ça que je t'ai demander de ma le désssiner .. et donc ça serais gentil de le faire quand même tu peux le faire avec C++ l'essentiel c'est de voir une courbe réelle ..

Ensuite tu as dis qu'il est facile d'imaginer les points $\Large e^{i n\theta}$ qui se trouvent sur le cercle de centre O et de rayon unité, ça oui je suis bien d'accord ..
mais "avec des angles $\Large \theta$ successifs qui les séparent" je comprends pas ça ?? et pour le reste c'est bon j'ai compris ..

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Ensuite tu as dis qu'il est facile d'imaginer les points $\Large e^{i n\theta}$ qui se trouvent sur le cercle de centre O et de rayon unité, ça oui je suis bien d'accord ..
mais "avec des angles $\Large \theta$ successifs qui les séparent" je comprends pas ça ?? et pour le reste c'est bon j'ai compris ..

Ben oui, si $\Large M_j$ est le point d'affixe $\Large e^{i j\theta}\ \ \forall j$ , tu as :
$\Large (\vec{Ox},\vec{OM_0}) = 0$
$\Large (\vec{Ox},\vec{OM_1}) = 1\times \theta$
$\Large (\vec{Ox},\vec{OM_2}) = 2\times \theta$
etc et par conséquent :
$\Large (\vec{OM_0},\vec{OM_1})=\theta$
$\Large (\vec{OM_1},\vec{OM_2})=\theta$
$\Large (\vec{OM_2},\vec{OM_3})=\theta$
$\Large (\vec{OM_3},\vec{OM_4})=\theta$
$\Large (\vec{OM_4},\vec{OM_5})=\theta$
non ?

Je vais voir si je peux faire ton dessin rapidement ! Mais, ça sera peut-être pas pour ce soir, demain sûrement (si je n'ai pas trop présumé de mes forces) !

Posted by: sandrine_guillerme

ça y est maintenant j'ai compris cette histoire de exponentielle .. et je vois mieux que la somme partielle de la série de terme général $\frac{e^in\theta}{sqrt{n}}$ on est bien d'accord .. et avec la somme partielle de la série de terme général $\frac{1}{sqrt{n}}$ quand rajoute la ça m'intrigue un petit peu ..

ce qui serait bien judicieux (et d'aileurs grandement apprècié) c'est de me faire le dessin des deux termes et en suite quand la somme et que ce que ça va donner .. et il n y a aucun soucie .. j'attendrais la réponse demain .. il me tarde (surement parceque c'est assez passionant ) vivement demain

Merci

Posted by: Quidam

Voici deux images, où j'ai tracé (et relié) les points correspondant aux sommes partielles de 1 à n : l'une avec n=30, l'autre avec n=1000
Dans les deux cas $\Large \theta=1$
Il faut cliquer un coup pour avoir une image à la taille de l'écran, mais sauf si tu as un écran gigantesque, ce ne sera pas la bonne taille (comme les traits font 1 pixel de large, beaucoup de traits disparaissent lors de l'affichage forcé à la taille de ton écran). N'oublie pas de cliquer à nouveau sur l'image à la taille de l'écran pour avoir une image à la taille originelle (grande), prévue pour une impression sur papier A4.

http://img126.imageshack.us/img126/4121/aa30bhl0.th.png
http://img50.imageshack.us/img50/43/aa1000bbu6.th.png

Posted by: sandrine_guillerme

D'accord maintenant au niveai du déssin je crois que j'ai bien compris.. passant maintenant a la démonstration rigoureuse.. je t'ai déja montré que les deux séries du termes générale.. sont équivalente.. mais il me semble que tu m'avais dis que les deux suites ne le sont pas.. pourquoi?
Merci

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

$\left ( \frac{z^n}{ln(n)} \right )$ là j'ai dis que la suite des sommes partielles $\sum_{k=0}^n z^k$ est bornée car suite géométrique de somme égale $\left ( \frac{|1-z^{n+1}|}{|1-z|} \right ) <= \left ( \frac{2}{|1-z|} \right )$
et l'application $ln x$ décroissante vers 0 :
Le théorème d'Abel s'applique donc la série converge .

Euh, panne de neurone, je ne me souvenais plus du théorème d'Abel. Un petit coup d'oeil à Wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...l_%28analyse%29) et je trouve un "théorème d'Abel" !
Je suppose que ce n'est pas de ce théorème-là que tu parles, car dans wikipédia les hypothèses ne sont pas ce que tu as démontré et la conclusion n'est pas non plus la tienne ! Peux-tu rafraîchir ma mémoire ?
Plus particulièrement, on ne dit pas "la série converge" lorsqu'il s'agit d'une série entière : en principe, ça dépend de z ! On parle de rayon de convergence, qui peut être fini, ou infini, certes, mais... Bref, je n'ai pas compris ce que tu as dit...

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

je t'ai déja montré que les deux séries du termes générale.. sont équivalente

Où ça ?
Moi, je vois que tu as posé la question :

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

$\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et ${\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}$ sont équivalente ?

Mais je ne vois pas ni la réponse, ni la démonstration de cette absente réponse !

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Pour l'équivalence j'ai appliquer la définition il faut prouver mais je ne vois pas le n'

Merci d'expliciter un peu...

En outre, je ne sais pas ce que c'est que deux séries équivalentes ! Je sais que deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de l'infini si $\Large lim_{x \to \infty}\ \ \ \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ . Je sais que deux suites U et V sont équivalentes au voisinage de l'infini si $\Large lim_{n \to \infty}\ \ \ \frac{U_n}{V_n} = 1$ . Mais pour deux séries ... (c'est d'ailleurs pour cette raison que je me suis fourvoyé hier en raisonnant sur les suites et pas sur les séries !). Parles-tu des suites associées ? C'est à dire des suites des sommes partielles ?
Dit-on que deux séries de termes généraux $\Large u_n$ et $\Large v_n$ sont équivalentes lorsque les suites $\Large U_n = \sum_{i\le n}\ \ u_i$ et $\Large V_n = \sum_{i\le n}\ \ v_i$ le sont ?

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

mais il me semble que tu m'avais dis que les deux suites ne le sont pas.. pourquoi?

Bien ! Revenons donc aux suites. Là, c'est moi qui ait fait erreur ! Navré d'avoir introduit le doute dans ton esprit ! J'aurais dû prendre la peine de prendre un crayon et un papier...Elles sont effectivement équivalentes :
$\Large u_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$
$\Large v_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}$

$\Large \frac{v_n}{u_n} = \frac{\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}}{\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}}$
$\Large \frac{v_n}{u_n} = 1 + \frac{e^{-i\theta n}}{\sqrt{n}}$
qui tend clairement vers 1 !
Cela dit, l'équivalence des suites $\Large u_n$ et $\Large v_n$ ne me semble pas impliquer l'équivalence des séries (au sens que j'ai supposé ci-dessus) sauf s'il y avait un autre théorème que j'aurais oublié également (je commence à avoir des doutes à présent

). Car je n'ai pas (encore !) abandonné mon affirmation d'hier (à 9H06) :
$\Large V'_n=\sum_{i=0}^n U'_n = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}) = \sum_{i=0}^n (\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}) +\sum_{i=0}^n (\frac{1}{n})$
selon laquelle les sommes partielles peuvent être décomposées en un partie qui converge et une autre qui diverge.
En d'autres termes : la série de terme général $\Large u_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ converge et la série de terme général
$\Large v_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}$ diverge. Euh..., enfin, jusqu'à ce que tu me montres le contraire !

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Quidam

Il me semble t'avoir vu écrire quelque chose à ce sujet dans un fil récent ; je ne suis pas intervenu car il y avait déjà pas mal de monde sur le fil... Mais l'équivalence de deux suites n'est pas mesuré par leur différence (tendant vers 0) mais plutôt vers leur rapport, qui doit tendre vers 1 !

ah nan je n'est jamais dis ça , mais petu etre si j'ai parler de différence de deux suite pour prouver l'équivalence c'est en utilisant la définition qu'est la suivante :

$\large pour tout \epsilon>0 il existe n_0 \in \N tel que n>n_0 |U_n - V_n| < \epsilon V_n !$
c'est la définition correcte et rigoureuse et pour la caractérisation des deux suites equivalente Oui dans ce cas la je suis bien d'accord la LIMITE de leur rapport, qui doit tendre vers 1 et ce n'est pas forcément EGAL A 1 !

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Je crois que c'est bon je l'ai trouvé .. j'ai appliquer le critère D'Abel .. car la suite des somme partielle $e^{in\theta}$ est borné et $frac({1}{sqrt(n)}$ est décroissante vers 0 (bien sur on va pas étudier les series en tant que tel mais on va tout simplement faire l'etude d'une séries de fonction .. donc la séries converge !

et j'en profite pour te raffraichir la mémoire en te rappelant du critère d'Abel : et appelé aussi la forme réduite du théorème d'Abel
$\large[U_nV_n]$ une série numérique si :
1/ la suite des sommes partielles de la série de terme général U_n est bornée
2/ $V_n$ décroissante vers 0

Donc la série $[U_nV_n]$ converge

Citation:

Posté par Quidam

Pour l'équivalence j'ai appliquer la définition il faut prouver mais je ne vois pas le n'!

c'est en appliquant la définition de l'équivalence celle que j'ai noté en haut avec la notation "epsilonesque" et le probleme c'est de trouver le rang $n_0$

Citation:

Posté par Quidam

En d'autres termes : la série de terme général $\Large u_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ converge et la série de terme général
$\Large v_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}$ diverge. Euh..., enfin, jusqu'à ce que tu me montres le contraire !

Ah oui c'est clair mais je ne sais pas pourquoi je sens qu'elle converge

En tout cas j'espère que j'étais assez claire (?) mais je ne vois toujours pas la réponse

Posted by: Quidam

Merci pour le critère d'Abel ; je l'avais oublié !

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Oui dans ce cas la je suis bien d'accord la LIMITE de leur rapport, qui doit tendre vers 1 et ce n'est pas forcément EGAL A 1

Je ne comprend pas cette phrase. Je pense que la limite de leur rapport est égale à 1, c'est-à-dire que leur rapport tend vers 1. Je ne sais pas ce que tu as voulu dire ici.

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

En tout cas j'espère que j'étais assez claire (?) mais je ne vois toujours pas la réponse

Ben non, ce n'est pas très clair.

Persiste tu à penser que les deux séries convergent ?
Cela voudrait dire que tu n'est pas d'accord avec moi quand je dis :
"la série de terme général $\Large u_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ converge et la série de terme général
$\Large v_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}$ diverge."
Si tu as besoin d'une preuve...N'hésite pas !

Posted by: sandrine_guillerme

ce que j'ai voulu dire par la limite de leur rapport , c'est qu'il tendent vers la même limite quoi .. je crois qu'on est bien d'accord finalement c'est cool

et j'ai une bonne nouvelle .. je comprends bien

En résumé :

les deux séries sont équivalentes la première est convergente et la deuxieme est divergente ..

sinon je vais te paraître un pe bête et soulante mais mon souhait c'est que tu m'explique encore plus le truc de dessin ça m'échape vraiment .. petit à petit stp .. et sache que je suis maintenant entièrement convaincu concernant la convergence et la divergence ! c'est cool c'est cool //

Une dernière question .. j'aurai bien aimé que tu me donne le code que tu as taper pour traçer les deux fonctions .. sur C++ je veux améliorer un peu mes connaissances concernant les dessins

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

En résumé :

les deux séries sont équivalentes la première est convergente et la deuxieme est divergente ..

Je ne suis toujours pas d'accord avec cette formulation (et pas encore en désaccord). Cela dépend de la réponse à ma question, réponse que j'attends toujours. Je re-formule :

Quand dit-on que des séries de termes généraux $\Large u_n$ et $\Large v_n$ sont "équivalentes" ?
1 - Lorsque les suites $\Large u_n$ et $\Large v_n$ sont "équivalentes" ?
2 - Lorsque les suites $\Large U_n$ et $\Large V_n$ sont "équivalentes" ?
3 - Jamais ! On réserve cet adjectif aux suites !

Merci de me rappeler la réponse à cette question : pour moi je penche pour la réponse 3, mais je n'en suis pas certain !

Si tu confirmes je dirais alors qu'il est incorrect ou au moins ambigu de dire :
les deux séries sont équivalentes la première est convergente et la deuxieme est divergente ..
Moi je dirai plutôt :
Les suites $\Large u_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)}$ et $\Large v_n=\frac{e^{in\theta}}{sqrt(n)} + \frac{1}{n}$ sont équivalentes. La série de termes général $\Large u_n$ converge et la série de terme général $\Large v_n$ diverge.

Posted by: sandrine_guillerme

Bonne nouvelle !!

La réponse est la 3.

On dit que les termes généraux de deux séries sont équivalents.

Par terme général on entend la suite que l'on somme pour obtenir la série.

Exemple : sigma 1/n et sigma 1/(n+1) sont des séries de termes général équivalents

Posted by: sandrine_guillerme

En résumé :

les deux séries de termes générales sont équivalentes la première est convergente et la deuxieme est divergente ..

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

sinon je vais te paraître un pe bête et soulante mais mon souhait c'est que tu m'explique encore plus le truc de dessin ça m'échape vraiment ..comment en fait pour tracer la suite $\large 1/sqrt(n)$ et si tu peux m'expliquer aussi comment tu as fais pour l'exponentielle petit à petit stp .. Une dernière question .. j'aurai bien aimé que tu me donne le code que tu as taper pour traçer les deux fonctions .. sur C++ je veux améliorer un peu mes connaissances concernant les dessins

C'est tout ce qui reste :/ si tu as le temps bien sur ! merci

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Bonne nouvelle !!

La réponse est la 3.

On dit que les termes généraux de deux séries sont équivalents.

Par terme général on entend la suite que l'on somme pour obtenir la série.

Exemple : sigma 1/n et sigma 1/(n+1) sont des séries de termes général équivalents

Réponse enregistrée : je suis d'accord !

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

En résumé :

les deux séries de termes générales sont équivalentes la première est convergente et la deuxieme est divergente ..

Ca y est, tu récidives déjà !

Non, non et non !

"les deux séries de termes générales sont équivalentes", ça ne veut rien dire !
Il faut dire "les termes généraux des deux séries" sont équivalents ! Je croyais qu'on était d'accord et puis PAF ! Tu recommences...

C'est essentiel d'utiliser les bons termes au niveau où tu es ! Pense-y !

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Sandrine_Guillerme

sinon je vais te paraître un pe bête et soulante mais mon souhait c'est que tu m'explique encore plus le truc de dessin ça m'échape vraiment ..comment en fait pour tracer la suite $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et si tu peux m'expliquer aussi comment tu as fais pour l'exponentielle petit à petit stp .. Une dernière question .. j'aurai bien aimé que tu me donne le code que tu as taper pour traçer les deux fonctions .. sur C++ je veux améliorer un peu mes connaissances concernant les dessins

Je ne comprends pas bien ! A ma connaissance, je n'ai pas tracé la suite $\frac{1}{\sqrt{n}}$ !
Et il me semble qu'en prenant exemple sur le code que je t'ai envoyé (en MP) tu peux tracer n'importe quelle fonction...

Posted by: Alpha

Juste pour info, le seul théorème qui nous donne un rapport entre l'équivalence du terme général de deux séries et leur nature, c'est celui-ci :

Si un et vn sont deux suite équivalentes et positives, alors la série des un est de même nature que la série des vn.

Il existe une légère ambiguïté sur le terme "série". Selon le contexte, il désigne le réel égal à la limite de la somme des termes lorsque la série converge, ou alors il désigne la suite de la somme des termes. Une série n'étant rien d'autre qu'une suite de sommes, qu'on peut noter Sn = somme des uk, k=0 à n, on peut alors très bien dire que 2 séries sont équivalentes, mais si on veut éviter l'ambiguïté et bien montrer que tout est bien clair dans son esprit, mieux vaut dire "les suites des sommes partielles des 2 séries sont équivalentes". (La somme partielle, c'est Sn).

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Alpha

Juste pour info, le seul théorème qui nous donne un rapport entre l'équivalence du terme général de deux séries et leur nature, c'est celui-ci :

Si un et vn sont deux suite équivalentes et positives, alors la série des un est de même nature que la série des vn.

Merci pour l'info ! J'ai un peu oublié tous mes théorèmes sur les suites...

Citation:

Posté par Alpha

Il existe une légère ambiguïté sur le terme "série". Selon le contexte, il désigne le réel égal à la limite de la somme des termes lorsque la série converge, ou alors il désigne la suite de la somme des termes.

Cela m'étonne beaucoup ! Tu veux dire donc que lorsque l'on dit "la série un" cela peut signifier (dans certains contextes) "la limite de la série un", c'est-à-dire, "La limite de la suite Sn, somme partielle des un" ?

Ben, si c'est vrai, c'est nouveau pour moi. !

Citation:

Posté par Alpha

Une série n'étant rien d'autre qu'une suite de sommes, qu'on peut noter Sn = somme des uk, k=0 à n, on peut alors très bien dire que 2 séries sont équivalentes

Ca, je veux bien l'admettre plus volontiers ! Simplement, je n'ai jamais entendu cette phrase dans ce sens. D'ailleurs, Sandrine_Guillerme parlait effectivement des suites un et non des sommes partielles lorsqu'elle disait "les séries" sont équivalentes. De fait, dans ce cas précis les sommes partielles ne sont pas équivalentes, à l'évidence puisque l'une d'elle converge et pas l'autre !

Posted by: Alpha

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Posté par Quidam

Eh bien il arrive que l'on dise, par abus de langage, que la série des 1/k² vaut pi²/6, alors qu'il serait certes plus correct de dire qu'elle converge vers pi²/6. Après réflexion, la première formulation n'est pas rigoureusement correcte, tu as donc raison.

Posted by: Quidam

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Posté par Alpha

Mais ce n'est pas la même chose de dire que "la série des 1/k² vaut pi²/6" et de dire que "la série des 1/k² est pi²/6" ! C'est comme si l'on disait "la série des 1/k²" chaque fois que l'on veut dire "pi²/6" et pourquoi pas $\Large \sqrt{6\times (la serie des \frac{1}{k^2})} = \pi$ . Faut pas pousser !

Cela ne me choque pas que l'on dise "la série des 1/k² vaut pi²/6" ! Mais pas plus !

Posted by: Alpha

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Posté par Quidam

Cela ne me choque pas que l'on dise "la série des 1/k² vaut pi²/6" ! Mais pas plus !

C'est pour ça que je n'en ai pas dit plus

Posted by: sandrine_guillerme

Bombah .. je crois qu'on c'est tout dis à propos

Mais j'aimerais bien rajouter une dernière phrase à ce fil (enfin à part si avez vous une intervention) NE JAMAIS PARLER DE SERIES EQUIVALENTES !!!
L'ADJECTIF EQUIVALENTES EST UNIQUEMENT RESERVER POUR LA SUITES !

Voila j'espère être claire sur ce point là ..

Donc Merci à tout ceux qui ont participé à ce fil notamment nuage alpha ... jn'é oublié personne??

hummmmmm .. mais QUIDAM ?
MERCI QUIDAM !