Coordonnées sphériques dans R^n

[amstramgram]

Bonjour à tous,

Je recherche des informations sur les coordonnées sphériques dans R^n, n quelconque.

Si x est dans R^n, on peut repérer x par un rayon r et un point de la sphère unité S^{n-1} de R^n.

Je cherche des informations sur ces changements de coordonnées et notamment comment s'effectue un changement de variables en coordonnées sphériques dans une intégrale.

J'ai cherché un peu sur internet mais je trouve surtout des choses sur les coordonnées sphériques définies par des formules avec des cosinus et sinus.

Si quelqu'un a des liens intéressants à me proposer ou des livres dans lesquels c'est bien expliqué, je suis preneur et merci d'avance! :-)

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trés bien ta question :

... comment s'effectue un changement de variables en coordonnées sphériques dans une intégrale....
...je trouve surtout des choses sur les coordonnées sphériques définies par des formules avec des cosinus et sinus....

Si tu veux passer en coordonnées sphériques dans une intégrale, il va bien falloir utiliser les coordonnées sphériques et donc les fameuses formules :





Est-ce le déterminant de la matrice Jacobienne qui te manque ?
C'est :

Ou bien veut tu uniquement faire le changement de variable avec et sur la sphère ?
Dans ce cas, le changement de variable correspond à où désigne la mesure sur la sphère...

[amstramgram]

En fait, je cherchais à montrer que l'intégrale sur un ouvert de R^n d'une fonction intégrable et radiale peut s'exprimer de manière plus simple, la méthode étant de faire un changement de variables en coordonnées sphériques.

N'aimant pas trop les formules "compliquées" avec les sinus et cosinus, je voulais "uniquement faire le changement de variables X=rY ".

Je te remercie pour ta réponse qui me satisfait dans la mesure où je peux résoudre mon problème en admettant ce que tu affirmes. Mais j'aimerais bien comprendre comment on obtient et aussi comment est-ce que l'on construit la mesure superficielle dY ?

[Ben314]

Je pense qu'il y a plusieurs méthode pour montrer la formule et définir le dy :

La première est évidement d'utiliser les coordonnées sphérique pour définir la notion d'intégrale sur la sphère et de montrer que le jacobien du changement de variable est de la forme "r^(n-1)x?" pour en déduire que, quasi par définition, dx=r^(n-1)dy.

Aprés, on doit pouvoir "faire semblant" de ne pas utiliser les coordonnées sphériques : On définit la mesure d'une partie Y de la sphère comme étant égale à 1/n fois la mesure de la partie tidle(Y) de la boule unité qui lui correspond (en prenant les rayons) puis on montre la formule pour des ensemples de la forme {x=ry ou y dans Y r dans [a,b]} pour une partie quelconque Y de la sphère. Il me semble que c'est sufisant pour montrer qu'elle est vraie en général.

[amstramgram]

Ok, je vois un peu l'idée... mais je vais me contenter pour l'instant d'admettre tout ça. Merci !