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Vieux 11/11/2007, 17h10
Hipollene
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Sur Maths-Forum depuis: novembre 2007
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Par défaut Convergence de suites réelles.

Bonjour !

Je fais des exos de maths en plus du cours, mais là je sèche... est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Enoncé :
Soit (Xn) une suite réelle. On suppose que les suites (X2n), (X2n+1) et (X3n) convergent. Démontrer que la suite (Xn) converge.


Je ne sais pas si je peux dire que (X2n), (X2n+1) et (X3n) sont des suites extraites de (Xn)...
Je sais que "toute suite extraite d'une suite convergente converge"... mais est-ce que la réciproque est vraie ?
Je pense qu'il va falloir utiliser des théorèmes de suites extraites en tout cas, non ?

Dans le livre, en guise de correction, ils disent : "Considérer les suites extraites (X6n) et (X6n+1)"... cela m'inspire encore moins !!!

A bientôt !


Hipollene est déconnecté  
Vieux 11/11/2007, 17h33
bitonio
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Sur Maths-Forum depuis: mai 2006
Messages: 770
Par défaut

La réciproque est bien entendu fausse. Ce n'est pas parce que quelques suites extraites converges que la suite converge. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer U_n=(-1)^n. On a bien U_{2n} et U_{4n} ... qui convergent, mais U_n ne converge pas.

Si on analyse ce qui t'es donné:

tu sais que la suite (X2n) converge vers l , donc que les termes pairs convergent . De même avec la suite impair qui converge vers k. La troisième suite te sert à démontrer que l=k assez simplement, ce qui permet de conclure quant à la convergence de (Xn).

Idée de rédaction pour montrer k=l. On sait que (X3n) converge vers \alpha , donc en particulier que toute suite extraite converge vers la même valeur \alpha . Or, (X6n) est une suite extraite de (X2n) qui converge vers l donc (X6n) converge vers l. D'autre part, (X(6n+3)) est une suite extraite de (X2n+1) et également de (X3n), donc k=l=\alpha

Bonne chance

Dernière modification par bitonio 11/11/2007 à 17h42.
bitonio est déconnecté  
Vieux 12/11/2007, 21h26
Hipollene
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Sur Maths-Forum depuis: novembre 2007
Localisation: Normandie
Messages: 38
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Je vous remercie beaucoup ! Vos explications m'ont éclairée...
A bientôt !
Hipollene est déconnecté  

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