Mathématiques - convergence dune suite

convergence dune suite
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Posted by: Mikou

$U_{n+1} = \sqrt{U_n} + \frac{1}{n+1}$ avec $U_0 > 0$
Etudier la convergence de la suite, c'est un bon exercice de terminal + ( concours general il me semble )

Posted by: yos

Salut Mikou.
Il est "évident" (comme dirait l'autre) que cette suite converge vers 1.

Posted by: Mikou

salut, oui mais pourtant la demo n'est pas si evidente, dailleurs yos il me semble que c'est un exerice du c.g donc ce n'est pas nimporte quoi non plus.

EDIT : jai verifié il sagit de lexo numero 2 du c.g de math 1995

Posted by: yos

J'ironisais en disant "évident". Ca ne l'est pas trop. Quoique dans ces années là, j'ai vu pire au CG. Il y a eu une période de 10 ans environ (1990-2000 en gros) où les exos étaient passionnants, dans le même style que les olympiades internationales. Aujourd'hui, ils sont revenus à une formule avec de longs exercices ennuyeux.
Je laisse chercher les autres sur cet exo intéressant. A bientôt.

Posted by: yos

Bonjour.
Exhumons un peu!
J'aimerais un équivalent de $u_n-1$ . Je penche pour 2/n mais je suis pas sûr.

Posted by: abel

Salut, j'ai trouvé qque chose pr ta question : (je trouve cet exo balaise pr un TS). Dites moi si mon raisonnement est faux par endroits.

Déjà on peut dire que (Un) est positive et ne tend pas vers 0 car on peut la minorer par (Xn) telle que Xn+1=sqrt(Xn) et X0=U0 sachant que Xn tend vers 1.
En elevant l'egalité au carré je tombe sur :
$U_{n+1}(U_{n+1}-\frac{2}{n+1})=U_{n}-\frac{1}{(n+1)^{2}}$
Ensuite je calcule Un-Un+1 et je tombe sur un polynome du 2nd degres en Un+1

$U_{n}-U_{n+1}=U_{n+1}^{2}-\frac{n+3}{n+1}U_{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}})$
Je trouve donc :
$\Delta=\frac{(n-1)(n+5)}{(n+1)^{2}})$

et les deux racines sont :

$x_{1}=\frac{1}{2}(\frac{n+3}{n+1}-\frac{\sqrt{(n-1)(n+5)}}{n+1}$
$x_{1}=\frac{1}{2}(\frac{n+3}{n+1}+\frac{\sqrt{(n-1)(n+5)}}{n+1}$

Du coup les 2 racines convergent vers 0 avec n et comme Un ne tend par 0, a partir d'un certain rang on aura Un-Un+1>0 et donc Un est décroissante à partir d'un certain rang et donc Un converge car elle est minorée par 0.

Maintenant on pose : $V_{n}=U_{n}-\frac{1}{n+1} $
et on arrive facilement à :
$V_{n+1}=\sqrt{V_{n}+\frac{1}{n+1}}$

avec Un et Vn equivalentes vu ce qui precède.
donc on peut ecrire :
$V_{n}=\frac{1}{n+1}\times W_{n}$
où Wn diverge vers +oo pr assurer la convergence de Vn vers une limite non nulle.

du coup on calcule Vn-sqrt(Vn) et on tombe sur :
$V_{n}-\sqrt{V_{n}}=\sqrt{V_{n}}(\sqrt{(1+\frac{1}{W_{n}} }-1) $

Donc Vn et sqrt(Vn) sont equivalentes et donc Vn tend vers 1...et donc Un tend vers 1...

Voilà, merci pour ceux qui ont pris la peine de me lire. Je pense qud meme qu'il y a bcp + simple et puis je suis pas sûr de la rigueur a certains endroits.

EDIT : Sinon comment faire pr trouver un equivalent de Un - 1 ???

Re-EDIT : Aïe je viens dejà de voir une erreur : les racines ne tendent pas ttes deux vers 0, l'une tend vers 1 et l'autre vers 0...j'essaie de voir comment exploiter ceci.

En fait c'est bon : soit Un<1 pour tout n et donc elle est croissante et majorée et donc converge donc c'est ok
soit il existe N tel que UN>=1 : alors pour n>N on aura Un decroissante et minorée par 1 car elle ne pourra plus redevenir inférieure à 1 (la justification est assez triviale : il suffit de dire que Un>Xn avec XN=UN et Xn>1 du coup).

Posted by: yos

Si $(u_n)$ converge, sa limite $\ell$ vérifie : $\ell=\sqrt \ell$ .
Mais on établit aisément par récurrence que $\forall n\in \mathbb{N} ^*,\ u_n>1$ . Il s'ensuit que 1 est la seule limite finie
admissible.
Supposons que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Ce qui précède entraîne alors qu'elle diverge vers $+\infty$ . Il existe donc un entier $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0,\ u_n\geq 4$ . La fonction $x\mapsto \sqrt x$ étant croissante sur $[\frac{1}{4},+\infty[$ , il en résulte $\forall n\geq n_0,\ u_n-\sqrt {u_n}\geq 2$ , ce qui est impossible car $u_n-\sqrt {u_n}=\frac{1}{n+1}$ . Par conséquent, la suite $(u_n)$ n'est pas strictement croissante : il existe un entier naturel $p$ tel que $u_{p+1}\leq u_{p}$ . On a alors $\sqrt{u_{p+1}}\leq \sqrt{u_{p}}$ , et par suite $\sqrt{u_{p+1}}+\frac{1}{p+2}\leq \sqrt{u_{p}}+\frac{1}{p+1}$ , c'est-à-dire $u_{p+2}\leq u_{p+1}$ , et ainsi de suite : la suite $(u_n)$ est décroissante à partir de l'indice $p$ . On peut alors conclure à $\lim u_n=1$ .

Posted by: Huit

Joli Yos !
Je n'aurais jamais trouvé...

Posted by: Mikou

lol abel je regarderai plutard ce que tu as fait, je suis encore endormi la ;)
Yos jai utiliser quasiment le meme methode, on peut trouver une suite definie par reccurence qui majore Un et qui converge, Ainsi en supposant que Un est strictement croissante ( on aurait Uo > 1 obligatoirement ) on arrive par passage a la limite a une absurdité donc il existe un rang p tel que Up > U(p+1) et par reccurence => convergence vers 1

NB : la suite definie par reccurence qui majore Un peut etre V(n+1) = racine Vn + 1/(n+1) avec tout simplement V0>U0 ;)