Mathématiques - Converge et serie de fonctions

Converge et serie de fonctions
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Posted by: muse

Bonjour tout le monde.

Voila je suis un peu désespéré je ne comprends rien.

Je ne comprends pas qu'est ce que la convergence uniforme.

Rn(x) tends vers 0? c'est ça ?
Quelles sont les méthodes ?

Je ne comprends rien non plus a la convergence normal.
Quelles sont les méthodes ?

Posted by: SimonB

La convergence uniforme, c'est une méthode générale pour assurer la continuité d'une limite de fonctions :
-si $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de fonctions définies de I (où I est un segment) dans un e.v.n. $(F, || ||_F)$ , si f est une fonction définie sur I telle que $||f_n-f||_{\infty}=sup(||f_n(t)-f(t)||_F), t\in I$ existe et tend vers 0 quand n tend vers l'infini, on dit que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers f.

On a la propriété que : si les $f_n$ sont toutes continues sur I, f a le bon goût de l'être aussi.

Apparemment, vu ton message, tu parles de séries de fonctions. Ca ne change rien. La notion est la même, sauf que la série que tu considères est simplement la suite $(f_n)=(\sum_{k=0}^{n}{g_k})$ (série de terme général $g_n$ ).

La convergence normale, c'est une condition suffisante pour assurer la convergence uniforme d'une série de fonctions :

-si on a une série $(\sum_{k=0}^{n}{g_k})$ de fonctions définies sur un intervalle I, si $||g_n||_{\infty}$ est le terme général d'une série convergente (dans $\mathbb{R}$ , puisqu'il s'agit d'une norme !), alors on dit que la série de fonctions converge normalement sur I.

En particulier, cela implique qu'elle converge uniformément sur I (vers sa limite, qui ne peut être que $(\sum_{k=0}^{+\infty}{g_k})$ .

Pour autant, ce n'est pas une condition nécessaire de convergence uniforme (on peut très bien avoir : $||\sum_{k=0}^{+\infty}{g_k}||_{\infty}$ converge sans que $\sum_{k=0}^{+\infty}{||g_k||_{\infty}}$ ne converge !).

Cela clarifie-t-il tes idées ? Sinon, quels sont tes problèmes ?

(Deux conseils, pour finir :
1-précise tes notations. Rn(x) ne veut rien dire pour quelqu'un qui n'a pas ton cours sous les yeux, les notations changent d'un prof à un autre, d'un humain à un autre...
2-précise où se situent les objets dont tu parles. Rn(x) tend vers 0, oui, soit, mais quand quoi tend vers quoi ? Quand n tend vers l'infini ? Quand x tend vers 0 ? Quand x tend vers 42 ?)

Bon courage !

Posted by: muse

Mais j'ai lu quelque part que

La série fn(x) converge normalement ssi:
sup $<br /> \sum_{k=0}^{+\infty}f_n(x)$ convergeait vers 0 il avait Convergence normale. C'est vrai ça ou c'est uniforme? un coup je lis normalement et un coup uniformemennt

Posted by: alavacommejetepousse

Citation:

Posté par muse

Mais j'ai lu quelque part que

La série fn(x) converge normalement ssi:
sup $<br /> \sum_{k=0}^{+\infty}f_n(x)$ convergeait vers 0 il avait Convergence normale. C'est vrai ça ou c'est uniforme? un coup je lis normalement et un coup uniformemennt

bonsoir

problème d'indice dans ta somme je présume qu'il faut lire k = n+1

des f k (x)

et dans ce cas c'est la convergence uniforme