Mathématiques - Une contribution d'Euler

Une contribution d'Euler
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Posted by: Zweig

Ce problème a été inventé par Euler (que je ne présente plus

) qui ne l'a jamais publié. Ce sont les organisateurs des olympiades russes qui ont retrouvé ce problème dans les notes d'Euler et l'ont proposé à l'olympiade russe, où personne n'a pu donné une solution

... C'est donc un problème ultra-difficile, donc je vous laisse chercher et je vous donnerais, si vous séchez, la brillante solution donnée par un membre de l'équipe allemande des OIM, Eric Müller.

Voici le problème :

Montrer que si $n \geq 3$ , alors $2^n$ peut être représenté sous la forme $2^n = 7x^2 + y^2$ , avec $x$ et $y$ impairs.

Posted by: ffpower

ouais,on sent que c est le genre de truc pas facile.je prefere les equations fonctionelles lol

Posted by: _-Gaara-_

Salut Zweig,

Citation:

Posté par Zweig

vous séchez, la brillante solution donnée par un membre de l'équipe allemande des OIM, Eric Müller.

Bah ouais, Deutch ist gut après tout ^^

Dis pour la démonstration, c'est astucieux ou il faut connaître un théorème précis ?

Posted by: Zweig

C'est de l'astuce principalement.

Posted by: _-Gaara-_

bon je me lance mais je ne sais même pas si c'est bon.. Bref ^^

$2^n = 7x^2 + y^2$

eq

$e^{n\ln(2)} = 7 e^{2\ln(x)} + e^{2\ln(y)}$

eq

$n\ln(2) = \ln(7) + 2\ln(x) + 2\ln(y)$

eq

$n = \fr{\ln(7)}{\ln(2)} + \fr{2\ln(x)}{\ln(2)} + \fr{2\ln(y)}{\ln(2)}$

eq

$n = \fr{\ln(7)}{\ln(2)} + 2\log_2(xy)$

x impair et y impair donc

x=2k+1

y= 2m+1

eq

$n = \fr{\ln(7)}{\ln(2)} + 2\log_2(4km+2k+2m+1)$

donc

$n = \fr{\ln(7)}{\ln(2)} + \log_2((4km+2k+2m+1)^2)$

tout çà pour çà quoi.. Je ne sais pas s'il existe un truc pour pouvoir torcher çà direct..

Maitenant reste à démontrer que tout nombre n supérieur ou égal à 3 peut s'écrire sous cette forme et c'est fini....

Tu as une indication Zweig ??

Posted by: Zweig

Les mots maîtres ici sont "récurrence" et "tableau" ... Pourquoi "tableau" ? Parce que la réponse se trouve dans la tableau que vous aurez dressé via la récurrence sur les premières valeurs de $n$ ... Essayez de trouver une relation pour passer de la paire $(x,y)$ d'une colonne à la paire $(x_1, y_1)$ de la colonne suivante !

n |3|4| ....
-------------
x |..|..| ....
-------------
y |..|..|....
-------------

Conjecturez cette relation, puis démontrez-la !

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par Zweig

n |1|2| ....
-------------
x |..|..| ....
-------------
y |..|..|....
-------------

Il ne faut pas commencer par n = 3 normalement ?

Posted by: Zweig

Si si bien sûr, j'ai tapé trop vite, comme d'hab, je ne me relis pas

Posted by: _-Gaara-_

n |3|4|5|6|7|
-------------
x |1|1|1|..
-------------
y |1|3|5|..
-------------

je ne vois pas la relation oO

Mais dis, ce que j'ai fait c'est n'importe quoi ? oO

Posted by: _-Gaara-_

C'est pas par hasard les termes impairs de la suite de fibonacci ? xD

Posted by: ThSQ

Je l'ai vu l'an dernier. C'est atrocement astucieux.

Posted by: _-Gaara-_

Citation:

Posté par ThSQ

Je l'ai vu l'an dernier. C'est atrocement astucieux.

lol si tu le dis c'est que c'est hyper dur

Posted by: Zweig

Non Gaara, pas de Fibbonaci dans l'air ... En fait, y'a besoin de se servir d'aucun théorème déjà connu. Dès lors que tu as trouvé la (enfin les) relations liant chaque couple d'une colonne à la suivante, alors t'as déjà fait le plus gros boulot.

Posted by: Zweig

Voici la solution (ça commence à la page de gauche, après que l'auteur ait prit soin de vanter les mérites de Müller

)

http://img88.imageshack.us/img88/6927/amt007pi2.jpg

Posted by: Joker62

étrangemment, moi qui n'aime pas du tout ces espèces de problèmes, j'avoue craqué totalement pour celui-ci :)
Merci ;)

Posted by: lapras

Tout simplement incroyable.
La relation entre les x et les y était difficile à remarquer. J'aime bien le coup du facteur 7 ajouté car on a un 7 dans l'équation lol.