Contre exemple sur le critère de Cauchy faible pour les intégrales

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Posted by: bilou88

Bonjour! J'aimerai avoir un contre exemple du critère suivant:
"Si l'intégrale( de a à + infini) de f(t) dt converge alors la limite en plus infini de l'intégrale (de x a + infini) de f(t) dt = 0, merci d'avance


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par bilou88
Bonjour! J'aimerai avoir un contre exemple du critère suivant:
"Si l'intégrale( de a à + infini) de f(t) dt converge alors la limite en plus infini de l'intégrale (de x a + infini) de f(t) dt = 0, merci d'avance


Comment définis-tu \int_x^\infty f(t)dt ??


Posted by: bilou88

Comme une fonction, qui a x associe l'intégrale de x a inf. et la limite de cette fonction en l'infini est 0


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par bilou88
l'intégrale de x a inf.


Pourquoi ça existerait a priori ?


Posted by: bilou88

x appartenant a (a,+ inf)?


Posted by: Pythales

Soit une fonction f(x)
- entre n-2^{-n} et n+2^{-n} représentée par un triangle isocèle de hauteur n et de base 2\times 2^{-n} (n entier)
- égale à 0 partout ailleurs
L'intégrale est égale à \sum_1^{\infty}\frac{n}{2^n} qui converge, sans que f(x) tende vers 0


Posted by: ThSQ

Ca se peut que j'ai rien compris mais il me semble qu'on parle de lim \int_x^\infty et pas de lim f(x).
Et pouvoir parler de lim \int_x^\infty exige que \int_a^\infty existe donc on tourne en rond.


Posted by: Lierre Aeripz

L'énoncé est parfaitement sensé et exact.

Pour x\gt a, \int_x^{+\infty} f = \int_a^{+\infty}f-\int_a^{x} f.

Si f est continue en a, il y a de grandes chances que ton cours pose par définition \int_a^{+\infty}f = lim_{x\to\infty}\int_a^{x} f.
Donc on a bien lim_{x\to\infty}\int_x^{+\infty} f = 0


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Lierre Aeripz
L'énoncé est parfaitement sensé et exact.

Pour x\gt a, \int_x^{+\infty} f = \int_a^{+\infty}f-\int_a^{x} f.

Si f est continue en a, il y a de grandes chances que ton cours pose par définition \int_a^{+\infty}f = lim_{x\to\infty}\int_a^{x} f.
Donc on a bien lim_{x\to\infty}\int_x^{+\infty} f = 0


Il me semble que c'est la réciproque qui intéresse bilou88


Posted by: nuage

Salut,
pour la réciproque on peut prendre
f(x)=\frac1{x^2} \text{ si } x \neq 0 \text{ et } f(0)=0
On a bien \lim_{x \to +\infty } \int_x^{+\infty} f =0
Et \int_{-1}^{+\infty} f n'est pas convergente.










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