Mathématiques - Continuité uniforme (:)

Continuité uniforme (:)
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Posted by: sandrine_guillerme

salut tout le monde

après avoir travaillé sur un problème (gros problème) je bloque sur une étape et j'ai pas le droit de faire quoique ce soit ..
pensez vous qu'un fonction positive a valeurs dans R amettant une limite finie en $\infty$ est uniformément continue ?
moi je pense que Oui mais je ne peux le montrer ..

deja je commence par ça

soit epsilon >0 il existe n entier tel qu n>n0 on a |f(x) - L|< epsilon..
ensuite :
pour tout epsilon>0 por tout x_0>0 il existe delta>0 tel que |x-x_0|<delta implique |f(x)-f(x_0)|<epsilon
je veux montrer que
pour tout epsilon>0 il existe delta>0 tel que |x-x_0|>delta implique |f(x)-f(x_0)|<epsilon

Mais après je ne vois pas comment conclure je sais que ça vienderas seulement de l'hypothése que f est positive que j'arrive pas a manipuler ..

Quelqu'un pour m'aider ?

Merci d'avance !

Posted by: Quidam

Sans y avoir vraiment réfléchi, je pense qu'une telle fonction n'est pas nécessairement uniformément continue. Si elle est dérivable et que sa dérivée est bornée, oui. Mais, par exemple, il me semble (sans en être vraiment certain) que la fonction $\sqrt{x}$ , uniformément continue sur $[a,\infty[$ si a > 0, ne l'est pas sur $[0,\infty[$

Alors, dans cette hypothèse, le fait que ta fonction ait une limite finie en $\infty$ n'empêche pas sa courbe représentative d'avoir une tangente parallèle à Oy en un ou plusieurs points. Le fait que l'exemple de $\sqrt{x}$ ne respecte pas ta condition ne doit pas te gêner ! On peut facilement construire une courbe par morceau qui serait identique à $\sqrt{x}$ entre 0 et 1 et la prolonger par une fonction tendant vers une limite finie ensuite, on pourrait même la rendre dérivable sur $]0,\infty[$ . De toutes manières, le problème serait localisé au voinage de 0 !

Je soupçonne donc, que la raison pour laquelle tu ne parviens pas à démontrer ton théorème, est tout simplement qu'il est faux ! Peut-être en donnant un contre-exemple...

Posted by: Yipee

Euh, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$ . Elle n'est pas Lipschitzienne mais elle est uniformément continue.

Pour revenir à la question initiale, que veux dire une fonction positive ? Si c'est définie sur $R_+$ alors oui cela marche, on travaille à l'infini comme tu as fait et on travail "à distance finie" avec les théorème de Heine.

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Yipee

Euh, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$ . Elle n'est pas Lipschitzienne mais elle est uniformément continue.

Tu as peut-être raison ! J'ai parlé un peu vite !
Il faut que j'y réfléchisse encore !

Merci de me l'avoir fait remarquer, et mille excuses pour Sandrine !

Posted by: sandrine_guillerme

Mais on a tous droit a l'erreur tinkitete pas Quidam .. ..

en attendant moi j'ai essayer de faire quelque chose de raisonable mais je ne sais pas si c'est correct ..

Bon
soit $\epsilon$ > 0 il existe A tek x>A $|f(x)-L|< \epsilon$
(lhypothèse)

pour tout (x,y) dans $[A,\infty[$ et en utilisant l'inégalité triangulaire on a |f(x) - f(y)| < 2 $\epsilon$
c'est tout je pense ..

P.S : a vrai dire j'ai travailler l'exo a l'envers donc j'ai du mal a deviner c'est quel genre d'inégalité triangulaire koi ..

Help !

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par Quidam

Tu as peut-être raison ! J'ai parlé un peu vite !
Il faut que j'y réfléchisse encore !

Je confirme ! Yipee, tu avais raison de dire que $\sqrt{x}$ était uniformément continue.

Mais, j'ai essayé de construire une fonction, certes non dérivable en certains points, mais qui aurait une dérivée non bornée au voisinage d'une infinité de points. Je propose une suite de demi-ellipses, de petits axes successifs sur Ox et dont la longueur serait 1, 1/2,...1/n, et de demi-grands axes dont la longueur serait 1, $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , ..., $\frac{1}{\sqrt{n}}$ , genre :

http://img222.imageshack.us/img222/5971/aaacn2.png

Puisque la série 1/n diverge, la définition serait assurée jusqu'à $\infty$ . Le grand axe et le petit axe des ellipses successives tendent tous deux vers 0, mais le grand axe tend vers 0 moins vite que le petit.

La condition d'être positive, et de tendre vers une limite finie (ici, 0) serait respectée. Ne crois-tu pas qu'alors, elle ne serait pas uniformément continue, à cause de la valeur absolue de la dérivée de plus en plus grande au voisinage des points de rebroussements ? En fait, je n'ai pas fait le calcul jusqu'au bout, mais il me semble...

Qu'en penses-tu ?

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Mais on a tous droit a l'erreur tinkitete pas Quidam .. ..

en attendant moi j'ai essayer de faire quelque chose de raisonable mais je ne sais pas si c'est correct ..

Bon
soit $\epsilon$ > 0 il existe A tek x>A $|f(x)-L|< \epsilon$
(lhypothèse)

pour tout (x,y) dans $[A,\infty[$ et en utilisant l'inégalité triangulaire on a |f(x) - f(y)| < 2 $\epsilon$
c'est tout je pense ..

P.S : a vrai dire j'ai travailler l'exo a l'envers donc j'ai du mal a deviner c'est quel genre d'inégalité triangulaire koi ..

Help !

Salut QUIDAM,

Avec ce raisonnement je pense qu'on aurait du mal a trouver un contre exemple pour que la fonction ayant une limite en l'infini soit soit pas uniformément continuit et en plus intuitivement la fonction que t'as déssiner est evidement uniformément contine .. En appliquant Heine sur certains intervalles Ai je répondu a la question ?

Posted by: B_J

salut
voila la reponse :
[img=http://img224.imageshack.us/img224/1084/pict0001ys9.th.jpg]
[img=http://img135.imageshack.us/img135/9882/pict0002cu7.th.jpg]

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Avec ce raisonnement je pense qu'on aurait du mal a trouver un contre exemple pour que la fonction ayant une limite en l'infini soit soit pas uniformément continuit

Euh, c'est pas très clair, ce que tu veux dire !

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

et en plus intuitivement la fonction que t'as déssiner est evidement uniformément contine

Ben justement, moi je trouve que intuitivement la fonction n'est évidemment pas uniformément continue...
Alors, intuition contre intuition : ça va pas le faire ! Il faut que je précise mes arguments de manière solide, et toi, de ton côté également...
J'aimerais avoir l'avis de Yipee aussi !

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

En appliquant Heine sur certains intervalles

Ben justement. Le théorème de Heine exige que l'ensemble de départ soit compact ! J'avoue bien volontiers que j'ai un peu oublié mes théorèmes sur la topologie ; j'ai donc consulté Wikipédia ! La question est "est-ce que R+ est un compact ?" Il me semble me souvenir que non ! Dans ces conditions, le théorème de Heine ne s'applique pas ! Rien ne t'empêche de l'appliquer sur un intervalle quelconque, et j'admettrai immédiatement que ma fonction est effectivement uniformément continue sur cet intervalle ! Mais cela ne démontre pas l'uniforme continuité sur R+ !

Comme tu l'as très justement rappelé, l'uniforme continuité est définie par :

$\Large \forall \varepsilon \exists \Delta >0 t.q. |x-x_0|<\Delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Je suis effectivement d'accord que sur un intervalle donné tu puisses trouver un $\Large \Delta$ , mais sur un autre intervalle, le $\Large \Delta$ sera différent, et si tu prends tout R+ d'un coup, tu ne trouveras pas, je pense, de $\Large \Delta$ qui marche !
Mais, je suis prêt à admettre mes torts... J'ai un peu perdu l'habitude ! Tu n'as qu'à me convaincre !

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par B_J

voila la reponse :

OK, B_J, tu m'as convaincu ! Merci pour cet éclaircissement, que j'attendais de Sandrine !

P.S. J'avais mis un certain temps pour rédiger mon message de 12h50, et je l'ai envoyé sans voir ton intervention de 12H28. A présent, je suis convaincu !

Posted by: B_J

De rien Quidam
PS: la solution est tiree du magnifique livre de Dufetrelle (elements d'analyse chez vuibert)

Posted by: sandrine_guillerme

merci a beaucou a vous deux .. le livre c'est bien corinne dufetrelle je l'adore koi LloL

QUIDAM il me semble que j t'avais convaincu tout en haut .. j'ai fais le même raisonnement que celui qui existe dans le livre koi .. en tout cas c'est bien que c'est tranché ..

Donc merci beucoup et bonne soirée

Posted by: Alpha

Cet exo est vraiment très classique (niveau sup), il faut le connaître si on est en classe prépa

Posted by: sandrine_guillerme

AH ok! maintenant c'est cool je vais dormir moins conne ..

Mais moi je ne suis pas en Sup, je suis en 2eme année en fac math info .. Voila .. :)
A+