Continuité d'une fonction

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Posted by: pierremaul

Pierre (posté le 28/11/2006 à 20:51) ID: (32629,0)

Bonsoir à tous !
Je bloque depuis plusieurs jours sur la continuité d'une fonction.
En effet, on a vu en cours que:

Soit f une fonction,

f est uniformement continue sur D ( un ensemble ) ==> ( implique) f continue sur D.

On doit montrer que la réciproque fausse en donnant un contre exemple avec : f(x)= ..... et D=.....

Je n'arrive toujours pas à trouver.
Pourriez-vous l'aider svp?

Merci beaucoup et bonne soirée :)


Posted by: nuage

Salut,
tu peux essayer avec \large \sqrt{x} sur [0;1]


Posted by: kazeriahm

nuage le theoreme de Heine ?!

l'exemple de nuage ne marche pas car toute fonction continue sur un segment est uniformement continue sur ce segment.

Parcontre tu peux essayer racine de x sur R (et non pas sur [0,1])


Posted by: abcd22

Bonsoir,
racine de x est uniformément continue sur R, par contre l'exponentielle par exemple n'est pas uniformément continue sur R. Ou encore sin(1/x) sur ]0,1].


Posted by: pierremaul

Merci pour vos réponses.

Pourriez vous m'expliquer pourquoi sin(1/x) est continu sur ]0,1] mais pas uniformément continue sur ]0,1] ?


Posted by: yos

Ou x ---> x² sur R


Posted by: nuage

Citation:
Posté par kazeriahm
nuage le theoreme de Heine ?!

l'exemple de nuage ne marche pas car toute fonction continue sur un segment est uniformement continue sur ce segment.

Parcontre tu peux essayer racine de x sur R (et non pas sur [0,1])


Mes excuses


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par pierremaul
Merci pour vos réponses.

Pourriez vous m'expliquer pourquoi sin(1/x) est continu sur ]0,1] mais pas uniformément continue sur ]0,1] ?

Pour tout entier n, si on pose a_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} et b_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}} , on a \sin{\frac{1}{a_n}} = \sin{\( 2n\pi + \frac{\pi}{2} \)} = 1 et \sin{\frac{1}{b_n}} = \sin{\( 2n\pi - \frac{\pi}{2} \)} = -1 . Pour tout \alpha > 0, pour n assez grand | a_n - b_n | \leq \alpha et \sin{\frac{1}{a_n}} - \sin{\frac{1}{b_n}} = 2, ça contredit la définition de la continuité uniforme pour \varepsilon < 2.
Intuitivement, la raison pour laquelle cette fonction n'est pas uniformément continue sur ]0 ; 1] c'est qu'elle oscille de plus en plus vite au voisinage de 0.










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