Mathématiques - continuité

continuité
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: MacManus

Bonjour,

Je considère les 2 espaces vectoriels normés suivants :

(E,N) : espace des applications lipschitziennes de [0,1] dans R, muni d'une norme N (où $N(f)=||f||_{\infty}+Sup_{x \not \neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ avec $f \in E$ et $\forall x,y\in[0,1]$

$(C[0,1],||.||_{\infty})$ : espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme infinie.

Question :

Comment puis-je montrer que l'application identité est continue (ou non !) entre (E,N) et $(C[0,1],||.||_{\infty})$ ??

NB : sans utiliser l'équivalence (ou non !) des normes

C'est justement la raison pour laquelle je suis un peu sur la touche...
Merci beaucoup de bien vouloir m'aider.

Posted by: tize

Bonjour,
l'identité est linéaire ! Montrer qu'une application linéaire $\Phi$ est continue de $(E,N_1)$ dans $(F,N_2)$ c'est montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout f, $N_2(\Phi(f))\leq C.N_1(f)$ .
Dans ton exercice, cela est évident pour l'identité de (E,N) dans $(C[0,1],||.||_{\infty})$ .
Dans l'autre sens tu peux trouver un contre-exemple avec une suite de fonction $f_k$ telles que $N(f_k)\longrightarrow\limits_{k\to\infty}\infty$ et $||f_k||_\infty=1$

Posted by: MacManus

Oui effectivement on utilise la continuité concernant les applications linéaires ça m'est sorti de la tête. Dans mon exemple je peux prendre C = 1 logiquement. Je vais essayer de trouver un contre exemple ensuite...
Merci bcp!

Posted by: MacManus

Citation:

Posté par MacManus

(E,N) : espace des applications lipschitziennes de [0,1] dans R, muni d'une norme N (où $N(f)=||f||_{\infty}+Sup_{x \not \neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ avec $f \in E$ et $\forall x,y\in[0,1]$

$(C[0,1],||.||_{\infty})$ : espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme infinie.

J'ai représenté la suite de fonctions suivantes pour n>=1 :

$f_n(x)=nx$ , si $x \in [0,\frac{1}{n}]$
$f_n(x)=1$ , si $x \in [\frac{1}{n},1]$

1. Vérifier que $f_n \in E$
2. Calculer $N(f_n)$
3. les normes $N(f_n)$ et $||f_n||_{\infty}$ sont-elles équivalentes sur E ?

1. Ici pour montrer que la suite de fonctions $(f_n) \in E$ , je dois montrer qu'elle est Lipschitzienne, cad qu'elle est uniformément continue sur [0,1] pour la norme N, est-ce correct, existe-t-il un moyen plus simple ?

2. On a que $||f_n||_{\infty}=1$ mais comment déterminer $Sup_{x \not \neq y}\frac{|f_n(x)-f_n(y)|}{|x-y|}$ ?

3. Je ne comprends pas bien le "sup" dans la norme N....

Merci de bien vouloir me guider

Posted by: jeje56

Salut MacManus,

Pour la question 2, le sup est atteint quand le dénominateur est minimal donc on s'intéresse seulement à l'intervalle [0;1/n] :

le sup vaut donc $\Large \frac {1}{\frac{1}{n}}=n$

Cela devrait t'aider pour les autres : N( $\Large f_n$ )=1+n
Donc les normes ne sont pas équivalentes (l'une tend vers l'infini alors que l'autre reste constante égale à 1)

Posted by: MacManus

Ok je pensais aussi à un dénominateur le plus petit possible...merci Jeje56 je suis d'accord. Si quelqu'un a une indications pour la question 1.

Merci bcp!

Posted by: jeje56

Je pense que tu devrais t'en sortir maintenant ;-)

Bon courage pour demain !!!

Posted by: MacManus

Ouais merci tu as été de bons conseils!
bonne chance pour demain !!