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Posted by: artouf

Bonjour,

J'ai un problème avec cet exercice, je ne vois pas du tout comment commencer.

Alors j'ai une fonction f de R+* dans R , croissante ;
et une fonction g de R+* dans R , décroissante, telle que g(t)=f(t)/t

Je dois prouver que ces deux fonctions sont continues.
Merci pour votre aide.

Posted by: Purrace

Bonjour j'ai un peu pres le meme exo mais c'est pas d'en les meme circonstances mais pour cet exo tu pose a dans R+* tu sait que les limites en a+ et a- existent puisqu'elle est croissante donc tu encadre f(a) et tu refait la meme chose avec f(a)/a par operations sur les limites tu en deduit que limf(x)(a+)<=f(a)<=f(x)(a-) car a>0.Et tu conclut.

Posted by: artouf

les limites en a+ et a- existent si f est continue mais c'est ce qu'on veut prouver donc on peut pas l'utiliser

Posted by: aviateurpilot

puisque f est corissante dans il admet des limite a gauche te a droite en tous point
en effet $\forall a\in R^+_*:\lim_{x\to a\\ x<a}f(x)=sup\{f(x)|\ 0<x<a\}$ qui existe dans meme pour la limte en gauche
soit $a\in\mathbb{R}_+^*$
$\lim_{x\to a\\ x<a}f(x)=b\le f(a)$ ou (2) $\lim_{x\to a\\ x>a}f(x)=c\ge f(a)$ .ce qui donne $b\le c$
donc $\lim_{x\to a\\ x<a}g(x)=\frac{b}{a}\ge g(a)$ et $\lim_{x\to a\\ x>a}g(x)=\frac{b}{a}\le g(a)$ .ce qui donne $\frac{b}{a}\ge \frac{c}{a}$

d'ou $\{b\le c\\c\le b$ donc $\lim_{x\to a\\ x<a}f(x)=b=c=\lim_{x\to a\\ x>a}f(x)$
donc $f$ est continue en tt point alors $g$ l'est aussi

Posted by: Purrace

Aviateurpilot a fait exactement ce que je t'avais conseiller de faire.

Posted by: artouf

Citation:

Posté par aviateurpilot

puisque f est corissante dans il admet des limite a gauche te a droite en tous point
en effet http://www.maths-forum.com/images/l...fec117f7956.gif qui existe dans meme pour la limte en gauche

je ne comprends pas pourquoi le fait que f soit croissante implique qu'elle admet des limites à droites et à gauche en tout point