continuité de fractions rationnelles à deux variables

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Posted by: nyth

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ces fonctions là:

1)f:R² -> R
f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2} si (x,y) \not= 0 <br /> f(0,0) = 0

Voici mon raisonnement:
|\frac{x^3}{x^2+y^2}| &lt; |x| et comme \lim_{(x,y) \to (0,0)}|x| = 0 alors \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = 0 donc continue en (0,0).
est-ce que ce raisonnement est correct ?

2) la dérivée partielle en x: \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^4+3x^2y^2} {(x^2+y^2)^2} si (x,y) \not= 0; \frac{\partial f}{\partial x} = 0 en (0,0)
Je dois chercher en quels points de R² la dérivée est continue. En R²\(0,0) c'est trivial, mais en (0,0) je trouve pas de majoration ou de minoration qui me permettent de conclure (en passant à la limite):/

3) pareil en y: \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2yx^3}{(x^2+y^2)^2}

Merci d'avance de votre aide


Posted by: Maxmau

Bj

1/ OK

2/ Sans doute n'y-a-t-il pas continiuité en (0,0)


Posted by: nyth

Pour prouver que la dérivée partielle en x n'est pas continue en 0, il faudrait donc la minorer par une fonction qui ne tend pas vers 0 en (0,0) ? ou y at-il une autre méthode ?

Si c'est bien ça, je sèche, je ne trouve pas de minoration qui me permettent de conclure...
J'ai deux minoration potentielles:

\frac{\partial f}{\partial x} &gt; (\frac{x^2}{x^2+y^2})^2

et

\frac{\partial f}{\partial x} &gt; 3(\frac{xy}{x^2+y^2})^2

après je vois pas comment faire :/
En tout cas merci de ton aide Maxmau


Posted by: Antho07

On peut aussi passer en polaire et faire tendre r vers 0.
Si la limite depend de theta alors il n'y pas continuité.


Posted by: Maxmau

Ou alors faire tendre (x,y) vers (0,0) , le point (x,y) restant
sur la droite y = mx


Posted by: nyth

Ah mais bien sûr !

sur la droite (x,x) on a

\frac{\partial f} {\partial x} = 1 Donc ne tend pas vers 0

merci, j'aurai dû y penser plus tôt >_<










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