Continuité fonction MPSI

[Anonyme]

Bonjour
Soit le problème suivant (je sèche désespérément!)...merci pour un coup
de main me permettant de démarrer!

Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que:
Pour tout x et y appartenant à R², f(x+y)*f(x-y)= [f(x)f(y)]²

Déterminer un élément de F non constant ne s'annulant pas sur R...

Merci d'avance et...joyeuses fêtes!

Loic

[Anonyme]

>
> Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que:
> Pour tout x et y appartenant à R², f(x+y)*f(x-y)= [f(x)f(y)]²
>
> Déterminer un élément de F non constant ne s'annulant pas sur R...
>

Bonjour,

Je te suggère :
1) y = 0 ==> en déduire f(0)
2) y = x ==> en déduire f(2x) en fonction de f(x)
3) déduire de 2) f(x) en fonction de x et f(1) pour x de la forme 2^n
4) vérifier que "oh joie" la forme de f(x) trouvée en 3) pour les x de la
forme 2^n marche pour tout x et constitue donc un élément de F, non contant,
et ne s'annulant pas sur R.

Voilà.
Il y a peut-être plus simple, mais ceci marche.

Patrick

[Anonyme]

Didier DAMET a écrit:
> Bonjour
> Soit le problème suivant (je sèche désespérément!)...merci pour un coup
> de main me permettant de démarrer!
>
> Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que:
> Pour tout x et y appartenant à R², f(x+y)*f(x-y)= [f(x)f(y)]²
>
> Déterminer un élément de F non constant ne s'annulant pas sur R...
>
> Merci d'avance et...joyeuses fêtes!


On va commencer par chercher quelques particularités de f pour se donner
des idées.

Puisqu'on voit que on a deux quantités f à gauche et 4 (2^2) à droite,
peut être que la valeur de f en 0 va nous aider ... pour x = y = 0 on
obtient f(0)^2 = f(0)^4. Ainsi on a f(0) = 0, f(0) = -1 ou f(0) = 1.
Mais si f(0) = 0 alors pour tout x, en faisant y = x dans la relation,
on obtient 0 = f(x)^2 et la fonction f est alors constante.
Donc f(0) = -1 ou 1 : dans la suite puisqu'on nous demande seulement un
élement de f on prend f(0) = 1.

Pour continuer puisque l'expression fait apparaitre un x-y et que l'on
connait la valeur en 0, prenons x =y. On obtient : pour tout x, f(2x) =
f(x)^4. Ca devrait peut-être t'inspirer ...
.... sinon, continuons : la puissance 4 à droite fait penser au
logarithme, pour simplifier les choses : prenons le logarithme de chaque
coté de l'égalité : ln(f(2x)) = 4ln(f(x)), ie avec g = ln o f, g(2x) =
4*g(x) ... là normalement tu devrais avoir une idée sur g (4 = 2^2 !).
Ensuite en composant par l'exponentielle tu en déduis f. Il ne reste
plus qu'à traiter la réciproque.

--
albert