constructions géométriques et racines cubiques

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Posted by: nuage

Salut à tous.
Une question (inspiré par la discussion 1=-1) dont je ne connais pas la réponse :
On dispose d'une règle, d'un compas et d'un instrument donnant \sqrt[3]{a} pour a réel positif (ie on dispose d'un segment [AB] l'instrument donne un point C sur (AB) tel que AC=\sqrt[3]{AB}).

Peut-on toujours construire les solutions d'une équation du 3° degré à coefficients dans \mathbb{Z} ?

Ps : on part avec uniquement les points de coordonnées (0,0) et (0,1).


Posted by: bruce.ml

Salut,

Citation:
Posté par nuage
Peut-on toujours construire les solutions d'une équation du 3° degré à coefficients dans \mathbb{Z} ?


Et même à coefficients dans \mathbb{Q} ! je m'explique.

Avec la rêgle et le compas, on sait construire \mathbb{Q}, et même \sqrt{\mathbb{Q}}. On sait faire des produits, des sommes, des divisions. Et et on suppose en plus qu'on sait faire les racines cubiques. Or une racine d'une équation du 3ème degré n'est qu'une somme de produits de racines carrées et cubiques ! il n'y a donc aucun problème :)


Posted by: nuage

Salut,
merci de ta réponse.
Mon problème vient de la construction et du choix des racines cubiques complexes, sur les quelles on tombe forcément si l'équation a trois racines réelles distinctes.

Mais je crois que c'est possible.
La j'ai un peu trop de fièvre pour vraiment chercher.

A+


Posted by: nuage

Finalement, j'ai l'impression que ce n'est pas possible.
J'ai essayé de construire un angle de \frac{\pi}{9} cad de résoudre 4 x^3 - 3 x =\frac12 (avec les instruments évoqués plus haut) et je tourne en rond.
Si quelqu'un a des idées...










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