Mathématiques - construction d'un triangle à partir des bissectrices

construction d'un triangle à partir des bissectrices
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Posted by: aurele

Bonjour,

excusez si je poste ça au mauvais endroit. Pour la conception d'un pliage -je suis origamiste-, j'aurais besoin de construire un triangle avec ces critères-là :

Je connais les rapports entre la longueur des segments qui partent de chaque angle pour rejoindre le centre du cercle inscrit : ils devraient être dans un rapport de 4/6/8.
à partir de ces données, y a-t-il une méthode pour tracer ce triangle ?

Je sèche un peu et mes connaissances en géométrie restent lacunaires. Si quelqu'un pouvait me donner une piste ou me dire clairement «c'est pas possible ton truc», ce serait merveilleux ;-)

Posted by: anima

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Posté par aurele

Bonjour,

excusez si je poste ça au mauvais endroit. Pour la conception d'un pliage -je suis origamiste-, j'aurais besoin de construire un triangle avec ces critères-là :

Je connais les rapports entre la longueur des segments qui partent de chaque angle pour rejoindre le centre du cercle inscrit : ils devraient être dans un rapport de 4/6/8.

Ca doit etre possible de tracer un tel triangle a coup de bissectrices; quand je serai chez moi (~50 minutes) j'essayerai.

P.S: plieur d'origami? J'irai voir ton site, car ca m'interesse, la diversite. Plier un X-wing avec des tiquets de metro etait le seul origami que j'aimais ;)

Posted by: nuage

Salut,
il y a une solution unique, mais, vu mes connaissances limités en géométrie, je n'ai pas réussi à trouver une construction.

J'ai fais du calcul numérique et j'ai trouvé que les côtés sont proportionnels à 3,03049 ; 3,82823 ; 4,71471.
Je ne sais pas si ça peut te servir.

En tout état de cause il faut résoudre une équation du troisième degré donc la solution n'est pas constructible à la règle et au compas.

Mais peut-être par pliage...

A+

[modification et ps]
Bravo pour ton site ! C'est superbe.

Posted by: aurele

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Posté par nuage

J'ai fais du calcul numérique et j'ai trouvé que les côtés sont proportionnels à 3,03049 ; 3,82823 ; 4,71471.
Je ne sais pas si ça peut te servir.

Que si ! merci beaucoup ! y a-t-il moyen que tu m'indiques la équations que tu as résolues pour ça ? ou simplement le principe. C'est très sympa en tout cas.

Citation:

Mais peut-être par pliage...

Peut-être, mais là je ne suis pas assez connaisseur dans cette branche du pliage.

Posted by: nuage

Salut,
mes excuses pour une réponse aussi tardive.
Pour faire le calcul :
j'appelle a, b et c les distances des sommets du triangle ABC aux points de contact avec le cercle inscrit, O son centre et r son rayon.
D'après ton énoncé on a $\frac{\text{OA}}{4}= \frac{\text{OB}}{6}=\frac{\text{OC}}{8}$ .
Avec le théorème de Pythagore :
$\text{OA}^2=a^2+r^2\\ \text{OB}^2=b^2+r^2\\ \text{OC}^2=c^2+r^2 $
En utilisant la relation de proportionnalité donnée on a :
$a^2+r^2=16 k^2\\ b^2+r^2=36 k^2\\ c^2+r^2=64 k^2$
D'autre part, en calculant l'aire du triangle, avec la formule de Héron et comme somme des aires des triangles OAB, OBC et OCA on trouve :
$\sqrt{a b c (a+b+c)}=r(a+b+c)$
Il reste à résoudre ces équations, ce que j'ai fait en prenant $r=1$ , si mes souvenirs sont bons.
Les côtés sont alors $a+b$ , $b+c$ et $c+a$ .

On a quelque chose de degré 6, mais on peut se ramener au degré 3, je crois.

Et pour les pliages, j'ai de vagues souvenir d'une conférence (faite par un matheux plieur). Je crois me souvenir qu'il pouvait construire au moins quelques solutions d'équations du 3° degré.

Avec admiration pour tes pliages, et en espérant t'avoir été utile,

@+

nuage