Construction des réels, définition.

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Posted by: Nightmare

Bonsoir à tous

Une question m'est venue en cours aujourd'hui.

Nous avons étudié la construction bien connue de l'ensemble des réels.

Pour rappeler aux rares qui auront oublié cette construction, on commence par étendre N à Z par une relation d'équivalence, puis Z à Q par une autre relation d'équivalence puis Q à R par une dernière relation. (Je passe les détails inutiles ici)

Bref, on a naturellement que N est inclu dans Z inclu dans Q inclu dans R, je ne vous apprends rien.

Seconde propriété importante : R est un corps totalement ordonné vérifiant l'axiome de la borne supérieure. En fait, R est l'unique corps vérifiant cela.
Ainsi, on peut tout à fait définir R par :
"L'ensemble des réels est l'unique corps totalement ordonné vérifiant l'axiome de la borne supérieure".

Question : en considérant que l'on a définit R comme ci-dessus, comment alors montrer que l'ensemble des naturels est dans R ?

Merci à tous.


Posted by: SimonB

Bon, première chose, c'est "inclus", pas "inclu" ;)

Deuxième chose : je vais peut-être dire une énorme bêtise, mais ne peut-on pas simplement raisonner par l'absurde : on suppose que N n'est pas inclus dans R, et ensuite, on construit un corps totalement ordonné vérifiant l'axiome de la borne sup par la première méthode ? De sorte qu'il en existe donc deux. (Mais peut-être que je débloque)


Posted by: Nightmare

Oui bien sûr, cette méthode marche.

Mais ce que je voulais dire, c'est rien qu'en considérant les propriétés de corps totalement ordonnée et celle de l'axiome de la borne supérieur, peut-on montrer par un raisonnement "direct" que N est incluS dans R.

Par exemple par contrapposée, montrer que si N n'est pas inclu dans R alors celui-ci ne peut être totalement ordonné ou vérifier l'ABS, ou un truc dans ce genre.


Posted by: SimonB

Ah. Je vais y réfléchir. Euh, disons, demain en cours de physique. ;)


Posted by: Nightmare

Oui, il faut bien que les cours de physique servent à quelque chose.

(Dominique va me tuer ^^)


Posted by: AL-kashi23

Citation:
Posté par Nightmare
Oui, il faut bien que les cours de physique servent à quelque chose.

(Dominique va me tuer ^^)


c'est clair que ça va pas lui plaire ça.... :)


Posted by: bruce.ml

Salut,

t'as 0 et 1 dans ton corps, il suffit d'aditionner 1 à lui même pour obtenir IN, mais bon cette construction n'est pas classique :)


Posted by: Nightmare

Oui mais à la rigueur la propriété d'ordre total (qui n'en est pas une d'ailleurs) et celle de l'ABS n'ont pas à faire grand chose avec cette construction, si?


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par Nightmare
Oui, il faut bien que les cours de physique servent à quelque chose.


Moi j'ai des raisons ! (Pas de physique au concours que je passe, 5/2, etc. ;) )


Posted by: cesar

Citation:
Posté par Nightmare
Seconde propriété importante : R est un corps totalement ordonné vérifiant l'axiome de la borne supérieure. En fait, R est l'unique corps vérifiant cela.
].

pas tout à fait : c'est vrai à un isomorphisme pres. Tout corps totalement ordonné verifiant l'axiome de la borne superieure est isomorphe à R et par un isomorphisme unique et strictement croissant....nuance....

cesar, coupeur de cheveux en quatre...


Posted by: Nightmare

Oui en fait pour être exacte il faut rajouter qu'il contient Q et dans ce cas là mon problème est réglé. Finalement je me pose trop de question.

Merci à tous.



Posted by: bruce.ml

Déjà que je dis j'écris A = B quand A et B sont isomorphes, mais si A et B sont isomorphes à isomorphisme unique, c'est un peu tiré par les cheveux de dire qu'ils ne sont pas égaux :P


Posted by: cesar

Citation:
Posté par bruce.ml
Déjà que je dis j'écris A = B quand A et B sont isomorphes, mais si A et B sont isomorphes à isomorphisme unique, c'est un peu tiré par les cheveux de dire qu'ils ne sont pas égaux :P

Q est denombrable, donc il existe un isomorphisme entre N et Q, pourtant N est different de Q....


Posted by: Lierre Aeripz

il ne faut pas confondre bijection et isomorphisme. Une bijection est simplement un terme ensembliste, alors qu'un isomorphisme est une bijection qui conserve une structure donnée. Donc ça n'a pas beaucoup de sens de parler d'isomorphisme sans parler de la structure sous-jacente.

Pour revenir au problème initial. Il y a plein de parties de \mathbb{R} qui peuvent être munies d'une structure identique au corps \mathbb{Q}, où à l'anneau \mathbb{Z}, etc. Mais si l'on veut que les opérations (addition, multiplication, comparaison, etc) dans ces ensembles coincident avec les restrictions de ces operations sur \mathbb{R}, alors il n'y a pas le choix, il n'y a qu'une seule manière d'inclure les entiers, les relatifs et les rationnels dans \mathbb{R}.










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