Je cherche à montrer que tout endomorphisme matriciel vérifiant f(AB)=f(A)f(B) et f(I)=I conserve la trace.
A part remarquer que f(A)^-1=f(A), je ne sais pas quoi dire et je ne vois pas par quoi commencer....
Merci.
Posted by: fahr451
bonjour
on le montre pour les matrices élémentaires Eij
Eij Eij = 0 ( j différent de i)
donc f(Eij) ^2 = 0 et f(Eij) est nilpotente sa seule valeur propre complexe est 0 sa trace est donc bien nulle
Eii Eii = Eii donc f(Eii)^2 = f(Eii)
f(Eii) est une projection sa trace est un entier naturel égal à son rang
on montre que ce rang n'est pas nul
si le rang est nul f(Eii) = 0 et pour j différent de i
EijEji = Eii ce qui donne f(Eij)f(Eji) = 0 notée AB = 0
EjiEij = Ejj soit f(Eji)f(Eij) = f(Ejj) soit BA = f(Ejj)
puis B(AB)A = 0 = f(Ejj)^2 or f(Ejj)^2 = f(Ejj)
donc f(Ejj) = 0
puis I = sigma (Ejj) donne f(I) = 0
absurde donc f(Eii) non nul sa trace vaut au moins 1
et comme f(I) = I = sigma f(Ejj) toutes les traces valent 1
f conserve la trace sur les matrices élémentaires donc partout
