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Posted by: barbu23

Bonjour :
Définition :
$\ E $ est une espace topologique quelconque.
$\ E $ est connexe si et seulement si une des propriétés suivantes est verifiée :
$\ 1 $ $\ E $ ne peut s'ecrire comme reunion disjoints de deux ouverts non vides.
$\ 2) $ $\ E $ ne peut s'écrire comme reunion disjoints de deux fermés non vides.
$\ 3) $ les seules parties à la fois ouvertes et fermés sont $\ E $ et $\ \empty $.
Theorème :
L'image d'un connexe par une application continue est connexe.
Preuve :
$\ A $ connexe.
$ f \hspace{10cm} : \hspace{10cm} A \hspace{10cm} \longrightarrow B = f(A ) $. ( $\ f $ est continue ).
Soit $\ F $ une partie de $\ B $ qui est à la fois ouverte et fermé.
$\ \Longrightarrow $
$\ f^{-1}(F) $ est ouvert et fermé de $\ A $ qui est connexe.
Donc : $\ f^{-1}(F) = \{ \empty \\ ou \\ A $
Donc : $\ f(f^{-1}(F)) = F = \{ f(\empty) = \empty \\ ou \\ f(A) = B $.
Donc $\ B $ est connexe.
Questions :
$\ 1) $ Pourquoi $\ f(f^{-1}(F)) = F $ ( En fait : $ f(f^{-1}(F)) \subset F $ est clair )... mais pour $\ F \subset f(f^{-1}(F)) $, je ne sais pas encore pourquoi .. ! Est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci d'avance !!


Posted by: tize

Bonsoir,
ça parait clair, si x est dans F et z dans f^(-1)({x})={y de A; f(y)=x} alors f(z)=x par définition ! Donc F est inclus dans f(f^(-1)(F)).


Posted by: marie-josèphe

bjr,

F n'est pas seulement un sous-ensemble de l'espace d'arrivée mais une partie de
f(A).


Posted by: barbu23

D'accord, merci beaucoup à vous deux !!


Posted by: barbu23

Bonsoir :
Soir $\ A $ une partie convexe de $\ \mathbb{R}^{n} $.
Alors : $\ A $ est connexe.
$\ [M,N] = \{ X = M + t. \vec{MN} , t \in [0,1] \} $.
$\ [M,N] $ est connexe.
En effet :
Car : $\ t \in [0,1] \displaystyle \longrightarrow^{\varphi } \varphi(t) = M + t . (N-M) $.
$\ \varphi $ est continue et $\ [0,1] $ est connexe.
Donc : $\ [M,N] $
Ensuite le prof écrit :
$\ A = \displaystyle \bigcup_{M,N \in A} [M,N] $
$\ \Longrightarrow $
$\ A $ est connexe.
Alors , pouvez vous m'expliquer quelle propriété le prof a utilisé ? Tout ce qu'on a étudié en cours.. c'est que la reunion de connexes est connexe que si l'intersection de ses connexes est non vide ! mais l'intersection ici est vide car il n'existe aucun point de $\ A $ qui appartient à tous les segments de $\ A $.
Merci d'avance de votre aide !!


Posted by: barbu23

Help pls !!
Merci d'avance !!


Posted by: tize

Bonsoir,
quel est ton problème exactement, c'est ça : $\ A = \displaystyle \bigcup_{M,N \in A} [M,N] $ ?


Posted by: barbu23

oui, je sais pas comment le prof a conclu qu'à partir de cette reunion que tu viens d'ecrire "tize", que $\ A $ est connexe !!


Posted by: tize

En fait il est plus normal de considérer : $\ A = \displaystyle \bigcup_{N \in A} [M,N] $


Posted by: barbu23

oui, ça je sais, mais tu peux m'expliquer pourquoi cet ensemble est connexe ?!
Merci d'avance !!


Posted by: tize

pour tout N dans A : $\ A = \displaystyle [M,N] $ est connexe.
$ \displaystyle \bigcap_{N \in A} [M,N] =\{M\}\neq\emptyset$ donc A est connexe...


Posted by: barbu23

oué, mais c'est pas ça ce qu'il faut avoir , non ?
Il faut que : $\ \displaystyle \bigcap_{N,M \in A} [M,N] \neq \empty $, pour tout $\ M $ et pas pour $\ M $ fixé .. ! ici ce n'est pas le cas $\ \displaystyle \bigcap_{N,M \in A} [M,N] = \empty $ !!
Il y'a un autre resultat que j'ai trouvé sur wikipedia, mais le prof nous l'a pas enseigné ! c'est que si $\ (A_{n})_{n \in \mathcal{N}} $ une suite de connexes tel que : $\ A_{i} \bigcap A_{i+1} = \empty $ $\ \forall i \in \mathbb{N} $ ... alors la reunion des $\ A_{n} $ est connexe !! ça peut aider à montrer que $\ A $ est connexe !! Malheureusement, on l'a pas fait en classe !! mais jusqu'à maintenant, j'arrive pas à comprendre la methode du prof !!


Posted by: barbu23

Help pls !!
Merci d'avance !!


Posted by: legeniedesalpages

Salut, en reformulant ce que t'as déjà dit Tize,

Si A est non vide, tu considères un point a\in A.

Soit \mathcal{I} la famille des segments contenus dans A et qui contiennent a.

1) Vérifier qu'on a bien \bigcup_{I\in \mathcal{I}} I = A à l'aide de la définition de la convexité;

2) Vérifier que les éléments de \mathcal{I} sont connexes (ce qu' a déjà fait ton prof dans sa preuve);

3) Comme les éléments de \mathcal{I} sont connexes et ont l'élément a en commun (donc d'intersection non vide), A est connexe.


Posted by: barbu23

Bonjour "legeniedesalpages" :
Citation:
Posté par legeniedesalpages

1) Vérifier qu'on a bien \bigcup_{I\in \mathcal{I}} I = A à l'aide de la définition de la convexité;


c'est ça le problème ? il n'y'a pas : \bigcup_{I\in \mathcal{I}} I = A ... tous les segments passe par $\ a $ non , je ne crois pas !!


Posted by: barbu23

Bonjour :
Théorème :
Soit $\ A $ une partie d'un espace topologique $\ E $ telle que : $\ A \subset B \subset \overline{A} $.
Alors $\ B $ est connexe.
Preuve :
Supposons que $\ B = H_{1} \bigcup H_{2} $ avec : $\ H_{1} $ et $\ H_{2} $ fermés de $\ B $ non vides disjoints.
$\ H_{1} = F_{1} \bigcap B $ et $\ H_{2} = F_{2} \bigcap B $ avec :$\ F_{1} $ et $\ F_{2} $ deux fermés de $\ E $.
$\ A \subset B $
$\ \Longrightarrow $
$\ A = A \bigcap B = A \bigcap ( H_{1} \bigcup H_{2} ) = ( A \bigcap H_{1} ) \bigcap ( A \bigcap H_{2} ) = ( A \bigcap F_{1} ) \bigcap ( A \bigcap F_{2} ) $
$\ A \bigcap F_{1} $ et $\ A \bigcap F_{2} $ sont deux fermés de $\ A $ disjoints.
Puisque $\ A $ est connexe , alors :
$\ A \bigcap F_{1} $ ou $\ A \bigcap F_{2} $.
Par exemple : $\ A \bigcap F_{1} = \empty $
$\ \Longrightarrow $
$\ A = A \bigcap F_{2} $
$\ \Longrightarrow $
$\ A \subset F_{2} $ fermé.
$\ \Longrightarrow $
$\ B \subset \overline{A} \subset \overline{F_{2}} = F_{2} $.
$\ \Longrightarrow $
$\ B \subset H_{2} $ et $\ H_{1} = \empty $.
Donc $\ B $ est connexe.
Questions :
$\ 1) $ Comment on est passé de $\ B \subset \overline{A} \subset \overline{F_{2}} = F_{2} $ à $\ B \subset H_{2} $ et $\ H_{1} = \empty $.
Merci d'avance !!


Posted by: barbu23

Bonjour :
Definition :
$\ E $ est une espace topologique connexe si et seulement une de ses conditions et équivalentes :
$\ 1) $ les seules parties à la fois ouvertes et fermés sont $\ \empty $ et $\ E $.
$\ 2) $ $\ E $ ne peut s'écrire comme réunion disjoints de deux fermés non vides.
Preuve :
$\ 1) \Longrightarrow 2) $
Supposons $\ E = W_{1} \bigcup W_{2} $ avec : $\ W_{1} $ et $\ W_{2} $ deux ouverts non vides tel que : $\ W_{1} \bigcap W_{2} = \empty $.
$\ \Longrightarrow $
$\ (W_{1})^{c} = W_{2} $ est à la fois ouvert et fermé.
$\ \Longrightarrow $
$\ W_{2} = \empty $ ou $\ W_{2} = E $ ( contradiction ).
Par conséquent :
$\ E $ ne peut s"écrire comme réunion disjints de deux ouverts non vides .
Questions :
$\ 1) $ Pourquoi, il y'a contradiction dans la demonstration !! je vois pas encore pourquoi !!
Merci d'avance !!


Posted by: tize

Bonjour,
$\ B \subset \overline{A} \subset \overline{F_{2}} = F_{2} $ donc B\subset F_2 et F_{2} \bigcap B=B or $\ H_{2} = F_{2} \bigcap B $ donc H_2=B et en particulier B\subset H_2.
Mais puisque $\ B = H_{1} \bigcup H_{2} $ avec H_1 et H_2 d'intersection vide alors nécessairement H_2=\emptyset.


Posted by: barbu23

Merci beaucoup "tize" !!
Et pour l'autre question : "contradiction" ?
Merci d'avance !!


Posted by: tize

Citation:
Posté par barbu23
Bonjour :
Definition :
$\ E $ est une espace topologique si et seulement une de ses conditions et équivalentes :
???? tu n'as pas oublié quelque chose...genre connexe ...
Citation:
Posté par barbu23
...Supposons $\ E = W_{1} \bigcup W_{2} $ avec : $\ W_{1} $ et $\ W_{2} $ deux ouverts non vides tel que : $\ W_{1} \bigcap W_{2} $.
$\ W_{1} \bigcap W_{2} =\emptyset$ ???

Citation:
Posté par barbu23
$\ W_{2} = \empty $ ou $\ W_{2} = E $ ( contradiction ).
Il y a contradiction car $\ W_{1} $ et $\ W_{2} $ sont deux ouverts non vides donc nécessairement $\ W_{2} = E $ mais dans ce cas c'est $\ W_{1} = \empty $ car $\ W_{1} \bigcap W_{2} =\emptyset$ or c'est impossible.


Posted by: barbu23

Ah ouiiiii !! merci beaucoup "tize" !!
Oui, t'as raison pour les erreurs de frappe !! pas grave !!
Merci en tous cas !!
Il reste maintenant, l'autre question de 10h38 !!
Merci d'avance !!


Posted by: tize

Citation:
Posté par barbu23
Il reste maintenant, l'autre question de 10h38 !!
Merci d'avance !!

Tu dois relire le message de legeniedesalpages de 22h34, en particulier la définition de \mathcal{I}.
Pour tout b\in A, [a,b]\subset A et [a,b] fait partie de \mathcal{I} et ceci j'insiste pour tout b\in A.
Donc \bigcup_{I\in \mathcal{I}} I = A et \{a\}\in\bigcap_{I\in \mathcal{I}} I\neq\emptyset par définition de \mathcal{I}.


Posted by: barbu23

Ah oui, tu as parfaitement raison parceque $\ A $ est convexe, Si on parcourt tous les points de $\ A $, le segment $\ [a,b] $ est dans le convexe $\ A $, donc la reunion de tous ces segments est $\ A $, parcequ'on parcous tous les points de $\ A $ ... !
Merci beaucoup "tize" !!










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