Conjecture Arithmétique

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Posted by: elladan

Voila une petite question qui me trotte dans la tête depuis un bon bout de temps :

Peut-on écrire tout nombre (>1 pour les petits malins) sous la forme
a + b c

avec a, b et c premiers ou valant 1 ?

D'après Maple (sauf faute de programmation de ma part) ca serait vrai pour les nombres jusqu'à 29296 (et là, j'ai craqué, je l'ai coupé...)

Pour donner le début, voila les triplets (a,b,c) :
1, 1, 1
1, 1, 2
1, 1, 3
1, 2, 2
1, 1, 5
1, 2, 3
1, 1, 7
2, 1, 7
1, 3, 3
1, 2, 5
1, 1, 11
2, 1, 11
1, 1, 13
1, 2, 7
1, 3, 5
2, 3, 5
1, 1, 17
2, 1, 17
1, 1, 19
2, 1, 19
1, 3, 7

Et on arrive à 22.
J'ai aussi vérifier pour des grands nombres (10 chiffres ou plus) et ça a l'air de marcher.
Malheureusement, mon faible niveau en arithmétique m'empêche de montrer ou que c'est vrai ou que c'est faux.
Merci de votre aide ou de vos suggestions


Posted by: Mikou

jetais sur le pt de dire 0 mais ...'(>1 pour les petits malins)'


Posted by: Rain'

1+1*1 non ?


Posted by: Mikou

hehe rain jai supprimé mon message ! javais compris a+b+c ...


Posted by: Rain'

Elladan si mon programme Maple est juste je peux te confirmer ta conjecture jusqu'à 47527 pour le moment. Enfin là il n'est installé que sur un petit portable je vais le mettre sur mon pc, ça devrait tourner plus vite.

Quelqu'un sait concrètement ce qu'est la commande issqrfree sur Maple?

Est ce issqrfree(x) = true si x possède strictement 2 diviseurs premiers différents ?


Posted by: rene38

Citation:
Posté par Rain'
Elladan si mon programme Maple est juste je peux te confirmer ta conjecture jusqu'à 47527 pour le moment. Enfin là il n'est installé que sur un petit portable je vais le mettre sur mon pc, ça devrait tourner plus vite.

Quelqu'un sait concrètement ce qu'est la commande issqrfree sur Maple?

Est ce issqrfree(x) = true si x possède strictement 2 diviseurs premiers différents ?

issqrfree(n)

Logical function returning "TRUE" if n is squarefree, meaning it is divided by no square q > 1

issqrfree(210)=1

issqrfree(n)=TRUE ssi n n'est divisible par aucun carré parfait supérieur à 1.


Posted by: Rain'

Merci beaucoup rené38


Posted by: Mikou

en passant, si qq1 est intéressé par maple 10.0 ....


Posted by: nuage

Salut,
la conjecture de Goldbach (tout nombre pair est somme de 2 premiers) implique que la propriété proposé est vraie pour tous les nombres pairs.

Mais ça fait pas vraiment avancer la question.
Peut-être est-elle aussi difficile ?


Posted by: Rain'

J'ai amélioré mon programme Maple il va beaucoup plus vite à présent, j'ai vérifié ça marche pour tous les nombres impairs jusqu'à 320477. Je ne suis pas allé plus loin.

Mais y a moyen de le pousser bien plus. Il a mis 12 secondes pour me le vérifier pour tous les nombres impairs de 308713 à 320477 soit 5882 nombres impairs en 12 secondes.

Personnellement je ne pense pas qu'on puisse la résoudre vraiment facilement. Quand on voit que la conjecture de Golbach n'est qu'une infime partie de cette conjecture.


Posted by: elladan

Citation:
Posté par nuage
Salut,
la conjecture de Goldbach (tout nombre pair est somme de 2 premiers) implique que la propriété proposé est vraie pour tous les nombres pairs.

Mais ça fait pas vraiment avancer la question.
Peut-être est-elle aussi difficile ?


Bah, j'y avais aussi pensé. Mais ça m'a rappelé la suite de Syracuse (souvenez-vous : je prends un nombre : il est pair, je le divise par deux, sinon, je le multiplie par 3 et je rajoute 1. Conjecture : on finit toujours par arriver à 1).
Pourquoi ?
J'admets qu'on a démontré que pour tous les nombres inférieurs à n, on a démontré la conjecture de Syracuse.
Si n est pair, je le divise par 2, j'obtiens un nombre plus petit et avec l'hypothèse de récurrence, c'est bon.
Et hop, passe à ton voisin pour les impairs...
Alors je me suis dit qu'il valait peut-être mieux essayer d'attaquer tout d'un bloc.

Mais si quelqu'un me démontre que ma conjecture est bonne pour les impairs, je suis super heureux.

Ici, j'ai l'impression que c'est un peu pareil :
si on ne s'intéresse qu'aux impairs, cela veut dire que, dans la forme a+bc, ou bien a vaut 2 ou bien c'est b ou c.

Hum, en fait, présenté comme ça, ça a l'air de simplifier un peu le problème...
Mais le fait qu'un nombre tombe dans l'un ou l'autre des cas m'inquiète un peu pour la démonstration...

Citation:
Posté par Rain'
J'ai amélioré mon programme Maple il va beaucoup plus vite à présent, j'ai vérifié ça marche pour tous les nombres impairs jusqu'à 320477. Je ne suis pas allé plus loin.


D'une part, ca a l'air de me conforter dans mon idée mais en plus, ca me fait extrêmement plaisir que vous preniez ça à coeur (et au sérieux...)


Posted by: elladan

Décidémment, nuage était dans le vrai.
Une petite recherche sur google sur Goldbach et je tombe sur :
Citation:
1973, 1978

Chen montre que
* Tout nombre impair supérieur à un nombre G', suffisamment grand, est égal à un nombre premier auquel on ajoute le produit d'au plus 2 nombres premiers

O³ G' = P + P * P


Donc, visiblement, c'est vrai (le fait que ce soit plus grand que G' jesaispastropquoi ça doit être parce qu'il s'interdit d'utiliser le 1)

Page source :
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Goldbach.htm










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