Congruences et nombre premier

[cedric08]

Bonjour j'ai ce dm a faire et je bloque

1)Pour a=2 puis a=3 déterminer un entier naturel n non nul tel que a^n soit congru a 1 modulo 7
2)Soit a un entier naturel non divisible par 7
a)Montrer que a^6 est congru a 1 modulo 7 (on fera une disjonction de cas)
b)On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que a^k soit congru a 1 modulo 7
Montrer que le reste de la division euclidienne de 6 par k vérifie: a^r congru a 1 modulo 7
En déduire que k divise 6
Quelles sont les valeurs possible de k
c)Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6
3)A tout entier naturel n on associe le nombre: A indice n=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n.
Montrer que A indice 2011 est congru a 6 modulo 7.

Merci d'avance . En attente de réponse

[nodjim]

Salut. En attente du travail que tu as déja entrepris sur ce sujet et de l'endroit où tu bloques.

[cedric08]

Pour le 1 je pense faire ceci Pour a = 2, tu calcules 21 modulo 7, 2² modulo 7, etc... jusqu'à ce que tu trouves 1: tu t'arrêtes alors.
Même chose ensuite pour a = 3.

Pour le 2 je ne sais pas encore

[Olympus]

Salut !

1) et 2-a) déjà traités ici : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=110101

[nodjim]

Soit a un entier naturel non divisible par 7
a)Montrer que a^6 est congru a 1 modulo 7 (on fera une disjonction de cas)

Déja "a" modulo 7, non divisible par 7, ça va de 1 à 6, car 8=7+1 etc...
Tu as déja 2 et 3, tu les as calculé, tu as aussi 6, qui est le produit de 2*3. Pour le a=1 pas de soucis. Pour le a=5, c'est aussi a=-2 modulo 7 et comme (-2)^6 est un carré, tu sais que (-2)^6=2^6. C'est fini pour ça.