Gallag a écrit:Bonjour je suis nouveau sur ce forum. Je suis en Terminale S avec la spécialité math, donc on va dire que j'aime bien les maths. Pour mon premier post, je sollicite votre aide pour un devoir maison de spécialité car étant absent durant les cours sur les congruences je n'arrive pas à faire ce devoir maison malgré une relecture du cour et des exos faits sur cette leçon que pourtant je ne trouve pa bien difficile. Voici le sujet :
n°119 p29 :
1.a) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 2^n par 10.
b) En déduire selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 2^n.
2. Déterminer selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 7^n.
3. Déterminer le chiffre des unités de l'écriture décimale de
(3548)^9X(2537)^31
Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider :++:
Il faut calculer les premiers termes pour voir ce qui se passe :
: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
: reste dans la division par 10 : 8
: reste dans la division par 10 : 6
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
: reste dans la division par 10 : 8
: reste dans la division par 10 : 6
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
...
Tu peux remarquer que, à part le premier terme, la suite des restes est périodique : 2,4,8,6,2,4,8,6...
Donc, pour n>0, le reste de la division de
par 10 est le reste de la division de
par n si k est le reste de la division de n par 4. Exemple :
n=9 : On divise 9 par 4 : 9 = 2*4+1 ; le reste est 1. Donc le reste de la division de
par 10 est le reste de la division de
par 10 soit : 2.
Même chose pour 7 :
: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 7
: reste dans la division par 10 : 9
: reste dans la division par 10 : 3
: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 7
: reste dans la division par 10 : 9
: reste dans la division par 10 : 3
Ici aussi, tu as une période.
Le reste de la division de
par 10 est le reste de la division de
par n si k est le reste de la division de n par 4.
Bien sûr, il faut démontrer tout ça. Tu peux dire que
. Si
s'écrit 10*k+r avec
, c'est à dire que le chiffre des unités de
est r, alors :
. Il est alors clair que le reste de la division de
ne dépend que de r. C'est d'ailleurs tout l'intérêt des congruences...
Pour la dernière question, tu dois observer que :
, c'est à dire le produit d'une puissance de 2 par un nombre qui finit par 7, tandis que 2537 est lui-même un nombre qui finit par 7. Tu dois donc utiliser les résultats trouvés dans les premières questions, pour répondre à celle-ci...
Bon courage !