Congruences

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Gallag
Messages: 2
Enregistré le: 04 Jan 2006, 12:15

Congruences

par Gallag » 04 Jan 2006, 12:31

Bonjour je suis nouveau sur ce forum. Je suis en Terminale S avec la spécialité math, donc on va dire que j'aime bien les maths. Pour mon premier post, je sollicite votre aide pour un devoir maison de spécialité car étant absent durant les cours sur les congruences je n'arrive pas à faire ce devoir maison malgré une relecture du cour et des exos faits sur cette leçon que pourtant je ne trouve pa bien difficile. Voici le sujet :

n°119 p29 :
1.a) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 2^n par 10.
b) En déduire selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 2^n.
2. Déterminer selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 7^n.
3. Déterminer le chiffre des unités de l'écriture décimale de
(3548)^9X(2537)^31

Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider :++:



becirj
Membre Rationnel
Messages: 698
Enregistré le: 16 Oct 2005, 10:56

par becirj » 04 Jan 2006, 14:29

Bonjour
1.a)




Si on continue, on retrouve successivement les restes 2, 4, 8, 6, 2 ....
Démontrons cette périodicité : en examinant les restes, on constate que l'on est amené à considérer les cas correspondants au reste de la division par 4 de l'exposant.
Soit n non nul.
Si n=4p . Le reste dans la division par 10 de est 6, or si un nombre se termine par 6, il en est de même de son carré puis de toutes les puissances successives donc le reste sera 6 ; en termes de conguence celà équivaut à

On peut faire les opérations (addition et multiplication) avec les congruences.
Si n=4p+1 , qui est congru à 6 x 2=12. Le reste est donc 2.
Si n=4p+2 , qui est congru à 6 x 4. Le reste est donc 4
Si n= 4p+3 , qui est congru à 6 x 8=48 . Le rest est donc 8.

b) Le chiffre des unités est égal au reste de la division par 10.

2. Je te laisse faire la question 2, la méthode est identique.

Chimerade
Membre Irrationnel
Messages: 1472
Enregistré le: 04 Juil 2005, 15:56

par Chimerade » 04 Jan 2006, 14:44

Gallag a écrit:Bonjour je suis nouveau sur ce forum. Je suis en Terminale S avec la spécialité math, donc on va dire que j'aime bien les maths. Pour mon premier post, je sollicite votre aide pour un devoir maison de spécialité car étant absent durant les cours sur les congruences je n'arrive pas à faire ce devoir maison malgré une relecture du cour et des exos faits sur cette leçon que pourtant je ne trouve pa bien difficile. Voici le sujet :

n°119 p29 :
1.a) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 2^n par 10.
b) En déduire selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 2^n.
2. Déterminer selon les valeurs de n, le chiffre des unités de l'écriture décimale de 7^n.
3. Déterminer le chiffre des unités de l'écriture décimale de
(3548)^9X(2537)^31

Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider :++:


Il faut calculer les premiers termes pour voir ce qui se passe :

: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
: reste dans la division par 10 : 8
: reste dans la division par 10 : 6
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
: reste dans la division par 10 : 8
: reste dans la division par 10 : 6
: reste dans la division par 10 : 2
: reste dans la division par 10 : 4
...
Tu peux remarquer que, à part le premier terme, la suite des restes est périodique : 2,4,8,6,2,4,8,6...
Donc, pour n>0, le reste de la division de par 10 est le reste de la division de par n si k est le reste de la division de n par 4. Exemple :
n=9 : On divise 9 par 4 : 9 = 2*4+1 ; le reste est 1. Donc le reste de la division de par 10 est le reste de la division de par 10 soit : 2.

Même chose pour 7 :

: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 7
: reste dans la division par 10 : 9
: reste dans la division par 10 : 3
: reste dans la division par 10 : 1
: reste dans la division par 10 : 7
: reste dans la division par 10 : 9
: reste dans la division par 10 : 3

Ici aussi, tu as une période.

Le reste de la division de par 10 est le reste de la division de par n si k est le reste de la division de n par 4.

Bien sûr, il faut démontrer tout ça. Tu peux dire que . Si s'écrit 10*k+r avec , c'est à dire que le chiffre des unités de est r, alors :
. Il est alors clair que le reste de la division de ne dépend que de r. C'est d'ailleurs tout l'intérêt des congruences...

Pour la dernière question, tu dois observer que : , c'est à dire le produit d'une puissance de 2 par un nombre qui finit par 7, tandis que 2537 est lui-même un nombre qui finit par 7. Tu dois donc utiliser les résultats trouvés dans les premières questions, pour répondre à celle-ci...

Bon courage !

Gallag
Messages: 2
Enregistré le: 04 Jan 2006, 12:15

par Gallag » 04 Jan 2006, 18:43

Merci beaucoup pour vos réponses, je crois que j'ai compris maintenant, Je vais enfin pouvoir terminer cet exercice. Allez à plus :zen:

 

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