Mathématiques - Conditions de continuité d'une intégrale impropre

Conditions de continuité d'une intégrale impropre
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Posted by: amk

Bsr,

Soit $n \in n*$ une suite de fonctions définies pour $y \in R$

$\int_{0}^{+\infty}\frac{\left(\ln x \right)^n dx}{x^y \cdot \left(1+x\right)}$

Les valeurs pour lesquels les intégrales convergent sont donc : 0<y<1

je dois démontrer que $I_n$ sont continues sur l'intervalle $\left(0,\rightarrow\right)\cdot(0,1)$

On a une intégrale de première éspèce donc je dois verifier en plus de la continuité de la fct sous l'intégrale , la convergence uniforme de celle ci .
mes questions sont les suivantes :
1/ Pour prouver rigoureusement la continuité on doit prolonger par continuité la fct en x=0 et $x=+\infty$ pour y fixé , et en y=0 pour x fixé donc 3 prolongements ?
2/ Pour la CVU , je dois y aller via l'intégrale de bertrand ?
à ce moment je décompose mon intégrale comme ceci :
$\int_{0}^{a_1} .... + \int_{a_1}^{a_2} ... + \int_{a_2}^{+\infty}...$
en prenant : $a_1$ <1 et $a_2$ >1 et en majorant par l'intégrale avec x^y au dénominateur ( le (1+x) $\simeq$ 1 au voisinage de 0 ) .

Merci