La composition de DLs

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Posted by: Celph

Bonjour,

J'étudie la convergence de la série de terme général,
u(n)=sin[pi*(1+n²)^1/2],
Je me suis laissé dire que la solution s'obtenait par DL de l'intérieur de sin. Sous quelles conditions puis-je affirmer que u(n) équivaut à sin de l'équivalent de pi*(1+n²)^1/2 ?
Merci de votre aide.


Posted by: nekros

Salut,

Tu parles d'équivalents, et ensuite de DL ?!

Thomas G


Posted by: nekros

Peut-être une piste :

En l'infini :
3$u_n=sin(\pi \sqrt{1+n^2})=sin(\pi n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})=sin(\pi n (1+\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))

Donc 3$u_n=sin(\pi n +\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n}))=(-1)^n sin(\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})

Juste une idée...

Thomas G


Posted by: Sdec25

Il faut faire attention avec les équivalents sur les suites (quand on compose).
3$ \sqrt{1+n^2} est équivalent à 3$ n mais 3$ sin(\pi \sqrt{1+n^2}) n'équivaut pas à 3$ \sin (n \pi) = 0 , donc il faut passer par un DL dans ce cas.


Posted by: Celph

Bien vu, j'ai effectivement fait une erreur, je ne voulais pas dire 'équivaut à' mais bien "est égal à".


Posted by: nekros

Ensuite, pour étudier la convergence, tu peux te servir tu critère spécial des séries alternées.

En effet, tu as 3$u_n=(-1)^n sin (w_n) avec 3$w_n=\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})

Tout dépend l'intervalle sur lequel tu étudies la convergence...

Thomas G


Posted by: Celph

Ok Nekros,
Et comme il faut que w(n) soit positive pour appliquer le théorème des séries alternées, il convient de montrer que w(n) est positive à partir d'un certain rang et ainsi on a la réponse, c'est bien cela ?

De quel intervalle parles-tu ?


Posted by: nekros

Oui entre autres...
Sinon, pour l'intervalle, oublie...
Bon courage !

Thomas G


Posted by: Celph

Merci.


Posted by: nekros

De rien

Thomas G










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