Composée de fonctions

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Posted by: Maitreidmry

Bonjour,

Existe-t-il des fonctions f : R => R et g : R => R vérifiant :

fog = x² et gof=x^3

Merci


Posted by: nox

ca sent le multipost

je dirais non car gof = x cube ca voudrait dire que f et g ont les meme variations sur R alors que gof = x² ca veut dire que f et g ont des variations inverses sur R-


Posted by: Maitreidmry

Ce n'est peut-être pas aussi évident que ça !

Si f est une fonction, il peut très bien exister des intervalles sur lesquels f n'est ni croissante, ni décroissante.
Exemple : la fonction x.sin(1/x) pour x > 0 n'est ni décroissante, ni croissante sur tout intervalle du type ]0,a[ avec a>0...


Posted by: sandrine_guillerme

Citation:
Posté par Maitreidmry
Ce n'est peut-être pas aussi évident que ça !

Si f est une fonction, il peut très bien exister des intervalles sur lesquels f n'est ni croissante, ni décroissante.
Exemple : la fonction x.sin(1/x) pour x > 0 n'est ni décroissante, ni croissante sur tout intervalle du type ]0,a[ avec a>0...


Oui Oui mais .. quand tu change les hypothèses attends toi au changement des résultats !
A+


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par Maitreidmry
Si f est une fonction, il peut très bien exister des intervalles sur lesquels f n'est ni croissante, ni décroissante.


f peut etre les 2. Mais ni l'un ni l'autre, ça n'existe pas....


Posted by: sandrine_guillerme

J'ai cherché je trouve le même résultat .. il en existe pas !
A+


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par sandrine_guillerme
J'ai cherché je trouve le même résultat .. il en existe pas !
A+

Ou alors on considère l'expression au sens STRICTE et il y a alors les fonctions constantes


Posted by: sandrine_guillerme

Tout à fait ..


Posted by: nox

Citation:
Posté par Maitreidmry
Ce n'est peut-être pas aussi évident que ça !

Si f est une fonction, il peut très bien exister des intervalles sur lesquels f n'est ni croissante, ni décroissante.

bin a part si c'est constant.........mais c'est evident qu'aucune des 2 n'est constante.(en laissant évidemment de côté les fonctions du genre indicatrice(Q) - contre exemple de xon ^^ qui me parait mieux que celui qui suit. On a quand même des hypothèses de continuité/dérivabilité sur f et g)
De toute façon la composée a des variations...donc on se pose pas ce genre de question
Citation:
Posté par Maitreidmry
Exemple : la fonction x.sin(1/x) pour x > 0 n'est ni décroissante, ni croissante sur tout intervalle du type ]0,a[ avec a>0...

jveux bien voir ta démonstration pour ça !


Posted by: nox

Citation:
Posté par Flodelarab
f peut etre les 2. Mais ni l'un ni l'autre, ça n'existe pas....

xon a parlé : indicatrice(x \in {\mathbb Q})


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
xon a parlé : indicatrice(x \in {\mathbb Q})

f une indicatrice d'un nombre a. Sur l'intervalle [0;a]
quelque soit x et y tels que x<y alors f(x) inférieure ou égale a f(y)
donc f est croissante

non?


Posted by: nox

c'est pas indicatrice d'un nombre hein !! c'est indicatrice de Q !
Ca vaut 1 quand x appartient à Q et 0 quand x appartient à R privé de Q

Du coup tu peux pas définir d'intervalles de croissance ou décroissance


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
R privé de Q

Le pauvre.


Posted by: xon

Salut,

que pensez vous de ce raisonnement ?

gof=x^3 donc Im(g)=R

fog=x^2 donc Im(f)=R+

donc comme gof=x^3, on en deduit que g(R+)=R

et du coup g ne peut pas etre continue de R dans R


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par xon
Salut,

que pensez vous de ce raisonnement ?

gof=x^3 donc Im(g)=R

fog=x^2 donc Im(f)=R+

donc comme gof=x^3, on en deduit que g(R+)=R

et du coup g ne peut pas etre continue de R dans R


Personne a parlé de continuité. si ?

Le raisonnement le plus facile et efficace est celui des sens de variation sur R-


Posted by: nox

Citation:
Posté par Flodelarab
Personne a parlé de continuité. si ?

Nan mais par contre on a les intervalles de départ et d'arrivée pour f et g


Posted by: xon

Citation:
Le raisonnement le plus facile et efficace est celui des sens de variation sur R-


on ne peut pas forcement découper en intervalles ou les fonctions sont croissante ou décroissantes


Posted by: nox

Citation:
Posté par xon
on ne peut pas forcement découper en intervalles ou les fonctions sont croissante ou décroissantes

si parce que on peut le faire pour fog et gof non ?


Posted by: xon

ce n'est pas evident de déduire des choses directement sur f et g à partir de fog et gof, mais je dis pas que ce que tu dis est faux


Posted by: nox

ba si fog a des variations sur R et que g va de R dans R moi j'en déduis que f a des variations sur R non ?


Posted by: xon

Citation:
Personne a parlé de continuité. si ?


Tu as raison, c'est parceque nox m'avais briefé sur le problème en me parlant de continuité

bon donc pour conclure, on peut plutot dire que g ne peut pas etre définie sur R en entier puisque g(R+)=R


Posted by: xon

Citation:
ba si fog a des variations sur R et que g va de R dans R moi j'en déduis que f a des variations sur R non ?


non, qu'est ce qui empeche f et g d'avoir des sales gueules et que çà se compense en les composant?


Posted by: nox

Citation:
Posté par xon
Tu as raison, c'est parceque nox m'avais briefer sur le problème en me parlant de continuité

c'est qu'il me foutrait ses conneries sur le dos dis donc

PS : briefé


Posted by: xon

je dis pas que t'as tort, je dis juste que ce que tu affirme n'est pas évident et qu'il faudrait une démonstration


Posted by: nox

jdis pas que j'ai raison mais jdis que la démonstration est triviale et que vous la ferez chez vous comme les profs de math


Posted by: xon

nan, nan, nan, l'est pas trivial


Posted by: nox

nan je sais ! ^^ mais c'est comme ca que les profs se sortent de la m**** en général (cf notre bon vieux prof qui nous disait que x = y+z ca fait dx = dy + dz...bon et apres euh...bon ba vous finirez chez vous on a pas de temps à perdre sur des trucs aussi facile)

deja si on prend f = g = indicatrice de Q ca compense...ca donne un truc constant mais ca compense...donc jpense qu'on peut s'en tirer effectivement


Posted by: xon

Sinon t'es d'accord avec ma réponse?


Posted by: nox

j'ai tout fait pour pas l'être mais je trouve pu de contre argument la donc jvais bien devoir être d'accord ^^


Posted by: Flodelarab

Si fog=x^2
alors fog appliqué a un négatif donne un nombre positif (1)

Si gof=x^3
alors gof appliqué a un négatif donne un nombre négatif (2)


Si f appliqué a un négatif donne un négatif, alors g appliqué a un négatif donne un négatif (a cause du résultat 2)
Mais Si f appliqué a un négatif donne un négatif, alors g appliqué a un négatif donne un positif (a cause du résultat 1)
donc si f appliqué a un négatif est négatif, g(x)=0 quelque soit le x négatif
f(g(x))=f(0)=x^2 quelque soit le x négatif.
Donc f n'est pas une fonction.

Si f appliqué a un négatif donne un positif, alors g appliqué a un positif donne un négatif (a cause du résultat 2)
Mais Si f appliqué a un négatif donne un positif, alors g appliqué a un positif donne un positif (a cause du résultat 1)
donc si f appliqué a un négatif est positif, g(x)=0 quelque soit le x positif
f(g(x))=f(0)=x^2 quelque soit le x positif.
Donc f n'est pas une fonction.

enfin, si f donne 0 quelque soit le x, alors g(f(x)=g(0)=x^3
Donc g n'est pas une fonction cette fois ci.

Conclusion: Toutes les hypothèses réunies dans l'enoncé ne peuvent etre vérifiées en meme temps. On ne peut pas trouver 2 fonctions f et g telles que leur composition donne x² dans un sens et x^3 dans l'autre.


Posted by: nox

c'est la démo de xon en développé ca non ?


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par xon
Salut,

que pensez vous de ce raisonnement ?

gof=x^3 donc Im(g)=R

fog=x^2 donc Im(f)=R+

donc comme gof=x^3, on en deduit que g(R+)=R

et du coup g ne peut pas etre continue de R dans R


tu parles de ça, Nox ?

J'avoue franchement, je comprends rien.
Il parle de continuité.

De plus, je vois pas la contradiction. La fonction tangente est définie sur plein de petit morceau qui ont tous leur ensemble d'images égal à R ...
C pas incohérent.

Mais n'ayant pas compris Xon, g ptet loupé un épisode


Posted by: nox

ba en fait dans l'énoncé on nous impose f et g de R dans R et là on trouve que g(R+) = R -------> contradiction


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
ba en fait dans l'énoncé on nous impose f et g de R dans R et là on trouve que g(R+) = R -------> contradiction

Soit f la fonction:
4$ \{ si\quad x\neq 0, f(x)=-x+1+\frac{1}{x}\\si\quad x=0, f(0)=0

Voila une fonction définie de R dans R, qui a la restriction de R+ dans R

rien d'extraordinaire.


Posted by: nox

wai mais chui en train de me demander si y a pas aussi de la bijectivité cachée

gof = x^3 est une bijection, donc f est une injection et g une surjection.
fog est une surjection donc f est une surjection donc f est une bijection.

donc pour l'instant on a g surjection donc pas de contradiction mais y a ptetre moyen de manipuler encore un peu


Posted by: nox

Citation:
Posté par Flodelarab
Si f appliqué a un négatif donne un négatif, alors g appliqué a un négatif donne un négatif

ca dépend non ? avec le résultat 2 on sait que g appliqué à un négatif appartenant à Im(f) donne un négatif seulement (d'ailleurs y a pas de négatif dans Im(f) ^^ ).


Posted by: nox

chui sur qu'on passe completement à côté du truc et qu'on se casse la tête pour rien


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
ca dépend non ? avec le résultat 2 on sait que g appliqué à un négatif appartenant à Im(f) donne un négatif seulement (d'ailleurs y a pas de négatif dans Im(f) ^^ ).

Restreint a Im(f) si ça te fait plaisir. Mais ça change rien a mon raisonnement.
Pour moi le sujet est clos. G ma preuve.


Posted by: nox

voila ce qui me démange :
Citation:
Posté par Flodelarab
Si fog=x^2
alors fog appliqué a un négatif donne un nombre positif (1)

Si gof=x^3
alors gof appliqué a un négatif donne un nombre négatif (2)


Si f appliqué a un négatif donne un négatif, alors g appliqué a un négatif donne un négatif (a cause du résultat 2)
Mais Si f appliqué a un négatif donne un négatif, alors g appliqué a un négatif donne un positif (a cause du résultat 1)
donc si f appliqué a un négatif est négatif, g(x)=0 quelque soit le x négatif
f(g(x))=f(0)=x^2 quelque soit le x négatif.
Donc f n'est pas une fonction. paragraphe non valable car Im(f) = R+ mais bon on va dire peu importe

Si f appliqué a un négatif donne un positif, alors g appliqué a un positif donne un négatif (a cause du résultat 2)
Mais Si f appliqué a un négatif donne un positif, alors g appliqué a un positif donne un positif (a cause du résultat 1) comprends pas...fog donne un positif à tous les coups. Donc f donne toujours un positif mais je vois pas comment conclure un truc sur g
donc si f appliqué a un négatif est positif, g(x)=0 quelque soit le x positif
f(g(x))=f(0)=x^2 quelque soit le x positif.
Donc f n'est pas une fonction.

enfin, si f donne 0 quelque soit le x, alors g(f(x)=g(0)=x^3
Donc g n'est pas une fonction cette fois ci.

Conclusion: Toutes les hypothèses réunies dans l'enoncé ne peuvent etre vérifiées en meme temps. On ne peut pas trouver 2 fonctions f et g telles que leur composition donne x² dans un sens et x^3 dans l'autre.



Posted by: alben

Citation:
Posté par nox
wai mais chui en train de me demander si y a pas aussi de la bijectivité cachée

gof = x^3 est une bijection, donc f est une injection et g une surjection.
fog est une surjection donc f est une surjection donc f est une bijection.

donc pour l'instant on a g surjection donc pas de contradiction mais y a ptetre moyen de manipuler encore un peu


Ouais, c'est pas simple !
g est une surjection, f une injection. Comme fog a pour image R+ et g a pour image R entier, l'image de f est donc bien R+. Donc f restreint R->R+ est une bijection. OK
On doit pouvoir en déduire que g resteint R+ -->R est aussi une bijection
Mais ça ne suffit pas à prouver qu'elles ne peuvent pas exister


Posted by: nox

waip je suis d'accord...mais le truc c'est que à la base on était parti pour travailler sur les variations et ca va tout seul...sauf que comme on l'a dit certaines fonctions ne sont ni croissantes ni décroissantes, mais le deviennent par composition.

Mais je me demande si ce cas n'est pas éliminé par le fait de faire de f une bijection.
Pas facile à montrer par contre


Posted by: alben

En composant une fois de plus on a f(x^3)=[f(x)]^2 \; et \; g(y^2)=[g(y)]^3
Je ne sais pas si ça peut aider
On en tire g(y)=g(-y)


Posted by: nox

euh...un truc con :
f : R->R
g : R->R
Donc fog et gof R->R
Or fog est à valeurs dans R+ uniquement...impossible non ?
ca ressemble au truc de xon...y'avait pas un contre argument contre ca ? jcommence à m'embrouiller un peu...


Posted by: alben

Non c'est parfaitement possible :
f envoie R dans R+ bijection type x->exp(x)
g envoie R+ dans R tout entier et symétriquement pour R- type ln(|x|)


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
voila ce qui me démange :

Oui g fait un sale copier/coller de mauvais aloi


Posted by: yos

Citation:
Posté par Maitreidmry
Bonjour,

Existe-t-il des fonctions f : R => R et g : R => R vérifiant :

fog = x² et gof=x^3

Merci

Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...


Posted by: nox

Citation:
Posté par alben
Non c'est parfaitement possible :
f envoie R dans R+ bijection type x->exp(x)
g envoie R+ dans R tout entier et symétriquement pour R- type ln(|x|)

wai mais on impose f et g de R dans R
Citation:
Posté par yos
Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...

comme l'a dit alben...mais où est la contradiction ? à part qu'on arrive de nouveau à la contradiction sur les ensembles donc on se ramene en fait à ce que j'ai dit au dessus non?


Posted by: alben

Citation:
Posté par nox
wai mais on impose f et g de R dans R

et alors, les deux fonctions que j'ai pris en exemple sont bien de R dans R


Posted by: Flodelarab

qqun aurait t il un exemple de bijection qui ne soit pas la composition de bijections ?


Posted by: alben

Citation:
Posté par yos
Cela entrainerait f(x^3)=f(x)^2 (en calculant fogof(x) de deux façons).
Et de même g(x^2)=g(x)^3.
...

Oui mais en quoi c'est impossible ?


Posted by: nox

Citation:
Posté par alben
et alors, les deux fonctions que j'ai pris en exemple sont bien de R dans R

Ca dépend si par "dans" on entend "ensemble image". C'est comme ça que je l'ai compris...sinon évidemment je suis d'accord.
Mais donc on n'a toujours pas de raisonnement valide ?

Flodelarab wai si on montre que fog bijective entraine f et g bijective ca marche mais on l'a pas.
fog bijective ca entraine g injective et f surjective je crois que c'est tout...donc on doit pouvoir trouver un contre exemple

EDIT : confirmation si on prend tout simplement la fonction carré et la fonction racine. Composée bijective si je ne m'abuse mais fonctions respectivement surjective et injective


Posted by: alben

Citation:
Posté par Flodelarab
qqun aurait t il un exemple de bijection qui ne soit pas la composition de bijections ?

Voir post 44


Posted by: nox

ou post 51 ^^

Bon eh bien le mystere demeure


Posted by: Flodelarab

Et pkoi pas essayer un truc comme ça ?

gof donne: 3$ \lim_{x\to -\infty} f(x)=L
gof donne: 3$ \lim_{x\to L} g(x)=-\infty
gof donne: 3$ \lim_{x\to +\infty} f(x)=L'
gof donne: 3$ \lim_{x\to L'} g(x)=+\infty

Or g est définie sur R donc L,L' ne peuvent etre des limites finies. Car si c t le cas, g ne serait pas définie sur R.

Comme f(x) est positif, L=L'=+\infty
Euhhhhh...
ben oui mais 3$ \lim_{x\to L} g(x) aurait 2 valeurs possibles alors ????


Posted by: nox

perso j'ai rien suivi...comment tu vas chercher la limite finie en - l infini pour f ??


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
perso j'ai rien suivi...comment tu vas chercher la limite finie en - l infini pour f ??

L n'est pas fini. C'est une limite quelconque.

Mais ce qui est plus grave, c le fait que je ne sais pas si le fait que fog et gof convergent impliquent une convergence de ses composantes.


Posted by: nox

ba non si tu prends g qui tend vers - infini et exponentiel pour f ...


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par nox
ba non si tu prends g qui tend vers - infini et exponentiel pour f ...

t en plein dans mon exemple favorable.
f est une exponentielle donc tend vers 0.
si g tend vers l'infini en 0 alors...

Ouai non c nul.
ça montre une discontinuité mais pas une non définition


Posted by: nox

dans l'autre sens la composition fodel ^^

tu me dis "est ce que fog converge entraine la convergence de f et g " si j'ai bien compris...a quoi je réponds "non" puisque certaine fonctions convergent en l'infini


Posted by: xon

resalut tout le monde,

si çà se trouve il a oublié de dire qu'elles étaient continues
pasque là çà serait fini


Posted by: nox

on y croit ...

mais dans le cas contraire c'est intéressant...pke intuitivement on sent bien que c'est non, avec le raisonnement sur les variations on voit que faut des fonctions super chelou pour faire des contre exemple, mais bon pour le montrer ...


Posted by: Imod

Je découvre ce problème et il me semble que limiter cette étude à des problèmes de croissance , décroissance est vraiment réducteur . Par quelques manipulations simple on arrive par exemple à :

f(x^3)=[f(x)]^2
g(x^2)=[g(x)]^3

deux équations fonctionnelles très simples , ont-elles des solutions ?

Imod


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par Imod
Je découvre ce problème et il me semble que limiter cette étude à des problèmes de croissance , décroissance est vraiment réducteur . Par quelques manipulations simple on arrive par exemple à :

f(x^3)=[f(x)]^2
g(x^2)=[g(x)]^3

deux équations fonctionnelles très simples , ont-elles des solutions ?

Imod

Si on avait la réponse a ta question, on s'arracherait pas les cheveux.


Posted by: Imod

D'accord , j'avais survolé le fil et Alben a déjà proposé la même chose , "mea culpa" . Je reste toutefois persuadé que les raisonnements limités en terme de croissance décroissance n'aboutiront jamais mais je peux me tromper .

Imod


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par Imod
D'accord , j'avais survolé le fil et Alben a déjà proposé la même chose , "mea culpa" . Je reste toutefois persuadé que les raisonnements limités en terme de croissance décroissance n'aboutiront jamais mais je peux me tromper .

Imod


Ils sont les plus puissants si on est sur qu'une croissance ou décroissance est definissable. Mais si une telle chose n'existe pa... on trouve pas


Posted by: Imod

à chacun son choix , personnellement je n'y crois pas , mais chacun est libre de son opinion et attendons le verdict de la solution , si elle vient un jour !

Imod


Posted by: Flodelarab

Citation:
Posté par Imod
à chacun son choix , personnellement je n'y crois pas , mais chacun est libre de son opinion et attendons le verdict de la solution , si elle vient un jour !

Imod

c pas un probleme d'opinion:
si fog décroissante sur R- alors f et g ont des sens de variations différents
si gof croissante sur R- alors f et g ont des sens de variations identiques

Il n'existe donc pas de f et g qui fonctionnent


Posted by: alben

Bonjour,
Je pense que ce problème présenté comme niveau bac n'a pas de solution à ce niveau. Il y a probablement une erreur d'énoncé quelque part !
Que savons nous ?
1 f(R)=R^+\; et \; g(R^+)=R
2 Notons f' et g' les restrictions f': R \rightarrow R^+\; g': R^+ \rightarrow R égales à f et g sur leur domaine de définition
alors f' et g' sont des bijections et pour x<0 on a g(x)=g'(-x)
3 on a les relations fonctionnellesf(x^3)=[f(x)]^2 et g(x^2)=[g(x)]^3.
4 g' et f' vérifient également ces relations ainsi que f'og'(x)=x² et g'of'=x³
On peut donc se limiter à l'étude de g' et f'
Il n'est pas évoqué de continuité dans l'énoncé. Si on rajoute cette hypothèse, g' et f' bijectives sont monotones et g' ne peut tendre vers + et - l'infini sans au moins un point de discontinuité. On peut donc montrer que f et g ne peuvent exister.
Sans hypothèse de continuité, ???
PS1 FlodelarabTes raisonnements sur le sens de variation et les limites n'ont de sens qu'avec l'hypothèse implicite de continuité
PS2 yos tu semblais avoir une idée à partir des relations fonctionnelles ?


Posted by: Roman

Bonjour,

Allez, a mon tour d'essayer ! Que pensez-vous de cet essai de demonstration ?

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On suppose qu'un tel couple de fonctions (f,g) existe.

Comme (g o f)(x) = x^3, on a f qui doit etre injective. Cela a deja ete remarque.

Ensuite, comme (f o g)(x) = x^2, on a, en composant les deux relations: f(x^3) = f(x)^2, pour tout reel x. Cela a deja ete remarque.

En consequence, puisque f est definie sur R entier, on doit avoir:

f(0^3) = f(0)^2
f((-1)^3) = f(-1)^2
f(1^3) = f(1)^2

Ce qui equivaut a:

f(0) = f(0)^2
f(-1) = f(-1)^2
f(1) = f(1)^2

Ainsi, les trois reels f(-1), f(0) et f(1) sont solutions de l'equation X^2 - X = 0 dans R.

Or, cette equation n'a que deux solutions dans R, a savoir 1 et 0.

Donc, parmis les trois reels f(-1), f(0) et f(1), il y en a forcement deux qui sont identiques.

D'ou, f ne peux pas etre injective, puisqu'on vient de montrer qu'il existe des reels x et y verifiant x != y et f(x) = f(y).

Finalement, cette contradiction entraine qu'il n'existe pas un tel couple de fonctions (f,g).

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Alors, ca vous plait ?

Roman


Posted by: alben

Citation:
Posté par Roman
Alors, ca vous plait ?
Roman

Beaucoup
C'est très élégant
PS j'avais repéré ces 3 valeurs que j'avais appelées a,b et c sans penser à les compter










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