Complexes

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Posted by: mehdi-128

Bonsoir, je dois décrir dans le plan complexe le lieu des nombres complexes u=1+z+z^2 ou z décrit le cercle unité.

merci...


Posted by: Nightmare

Rebonsoir

3$\rm |z|=1 donc 3$\rm z\bar{z}=1 d'où 3$\rm z^{2}=\frac{z}{\bar{z}}
Ainsi :
3$\rm u=1+z+\frac{z}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}+|z|^{2}+z}{\ bar{z}}=\frac{2Re(z)}{\bar{z}}=2Re(z)z

Continue.


Posted by: mehdi-128

Oui merci je vais essayer.


Posted by: mehdi-128

Posons: z=exp(ia) j'obteins: u=2*cos(a)*exp(ia) ou a est un réel.

donc: u=2cos(a)^2 +i*sin(2a)

Ensuite,je vois pas trop...


Posted by: alben

Citation:
Posté par Nightmare
3$\rm u=1+z+\frac{z}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}+|z|^{2}+z}{\ bar{z}}=\frac{2Re(z)}{\bar{z}}=2Re(z)z

Bonsoir,
Petite correction
3$\rm u=\frac{1+2Re(z)}{\bar{z}}=z+2Re(z)z
PS : On constate que u sera égal au produit de z par un réel, donc en notant O le point 0, M le point z et M' le point u, O,M et M' seront colinéaires et le module de M' dépendra de \theta \; :\; \rho'= 1+2cos(\theta)


Posted by: mehdi-128

Petite correction
3$\rm u=\frac{1+2Re(z)}{\bar{z}}=z+2Re(z)z
PS : On constate que u sera égal au produit de z par un réel, donc en notant O le point 0, M le point z et M' le point u, O,M et M' seront colinéaires et le module de M' dépendra de \theta \; :\; \rho'= 1+2cos(\theta)

En fait j'ai pas compris ce raisonnement,quelqu'un pourrait-il m'éclairer?


Posted by: thomasg

Bonjour,

u=z(1+2Re(z))
donc u=kz avec k=1+2Re(z) nombre réel.
donc u et z sont colinéaires (les points O, M, M' sont alignés)

Pour le module
|u|=|z||1+2Re(z)| or |z|=1 (z appartient au cercle unité) et Re(z)=cos(téta)
où téta est l'argument de z.

donc on a bien |u|=1+2cos(téta).

A bientôt.

Ps: je n'ai fait que réecrire la fin du message d'Alben, comme tu semblais le demander.


Posted by: mehdi-128

merci.....










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