Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui transforme,
par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
Merci d'avance.
Posted by: Cyberchand
"pasquetstephane" <pasquetstephane@aol.com> a écrit dans le message de news: 20041124124629.21753.00000909@mb-m12.aol.com...
> Bonjour.
>
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
> transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
> Merci d'avance.
non, le cercle est compact et pas C.
Posted by: Patrick Coilland
">>
>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>> transforme,
>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>>
>> Merci d'avance.
>
> non, le cercle est compact et pas C.
Ben là, je suis perdu. Je croyais R^2 et R équipotents, donc évidemment C et
un cercle !
Posted by: Nicolas Le Roux
On Wed, 24 Nov 2004 18:59:55 +0100, Cyberchand wrote:
> non, le cercle est compact et pas C.
Tu peux avoir une bijection d'un ensemble compact vers un ensemble non
compact. Elle ne sera juste pas continue.
--
Nicolas
Posted by: µ
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
Oui.
Après, si on veut rajouter des conditions sur la bijection (continue,
continue à réciproque continue, holomorphe), ça marche moins bien.
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
Posted by: Fabien Cayla
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
Il existe des applications nommés inversions qui transforme des cercles en
droites, par exemple , une inversion de pôle O échange une droite ne passant
pas par O en un cercle passant par O (mais privé de O).
C'est pas tout à fait ce que tu demandais mais c'est déjà qquechose...
Posted by: Nicolas Richard
pasquetstephane a écrit :
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
Quand tu dis "plan" et quand tu dis "cercle" je suppose que tu
sous-entends quelque chose derrière :
- Un plan est homéomorphe à R^2 je suppose... peut être même as-tu
envie de la métrique de R^2, du style "un plan n'est pas une selle de
cheval", un vrai plan donc!
- Un cercle ça serait, dans la même veine, un truc comme {e^(it) où (t
\in R) et (i^2 = 1)} avec la norme induite. Bref, un truc rigide! Bref
des conditions du style "un cercle n'est pas une ellipse", donc un vrai
cercle!
Auquel cas le terme "transformer" serait implicitement quelque chose qui
transporte la topologie (et la métrique). Alors la réponse est non.
Sinon évidemment qu'il existe une bijection entre "un plan" (R^2) et "un
cercle" (R union {oo}, par exemple) mais c'est pas intéressant.
--
Nico.
Posted by: Patrick Coilland
>
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
> transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
Bonjour,
Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des topotrucs,
.... . Alors, bien que cela semble évident pour tout le monde, j'ai mis du
temps à en fabriquer une (démontrer qu'il y en a est assez simple, trouver
une injection aussi, mais identifier une bijection ..). Il y en a
probablement de plus simples que celle qui est ci-dessous, mais c'est tout
ce que j'ai trouvé dans l'immédiat, et puis c'est mamiennàmoi :
1) bijection immédiate de C dans R^2 : f1(z)=(réel(z),im(z))
2) bijection simple de R^2 dans ]0,1[^2 : f2(x,y)=(1/2+arctan(x)/pi,
1/2+arctan(y)/pi)
(Nota : arctan étant de R dans ]-pi/2, pi/2[)
3) bijection de ]0,1[^2 dans [0,1[^2 : f3(x,y)=(g(x),g(y)) avec :
g(x) = x + 1 - 3(2^Ent(log_2(x)))
(Nota : Ent(x) étant l'unique entier n tel que n <= x < n+1, même pour x
négatif)
Explication : on écrit x en base 2, puis on inverse (1 en 0, 0 en 1) tous
les digits à droite de la virgule jusqu'au premier 1 inclus, le reste
inchangé.
4) bijection de [0,1[^2 dans [0,1[ :
Soient les trois suites u_i, v_i, w_i définies ainsi :
u_0 = x (avec x dans [0,1[
v_0 = y (avec y dans [0,1[
w_0 = 0
Alors f4(x,y) = lim(n->infini, w_n) est une bijection de [0,1[^2 dans
[0,1[.
Explication : on écrit x et y en base 2, puis on fabrique f4(x,y) en
constituant sa représentation en base 2 en copiant alternativement celle de
x et celle de y mais en arrêtant la copie dès qu'un 0 est rencontré (après
l'avoir copié).
5) bijection de [0,1[ sur le cercle unitaire de centre O : f5(x) =
exp(ix*(2pi))
Voilà, c'était pour le plaisir ... . (euhh, le mien en tout cas)
Posted by: µ
> Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
> parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des
topotrucs,
Qui a dit que ça n'avait pas d'intérêt?
> ... . Alors, bien que cela semble évident pour tout le monde, j'ai mis du
> temps à en fabriquer une (démontrer qu'il y en a est assez simple, trouver
> une injection aussi, mais identifier une bijection ..).
On s'amuse comme on peut ;-)
Je n'ai aps lu ta construction, mais pour revenir au sujet initial, il est
en général difficile de construire proprement et à la main des bijections
entre ensembles "qui ne se ressemblent pas trop" (laborieux en tout cas).
--
µ
Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé
Posted by: Patrick Coilland
>
> Qui a dit que ça n'avait pas d'intérêt?
>
je reconnais avoir un peu exagéré. Un seul post mentionne "mais c'est pas
intéressant".
>
> On s'amuse comme on peut ;-)
>
Voui, et je peux peu :)
> Je n'ai aps lu ta construction, mais pour revenir au sujet initial, il est
> en général difficile de construire proprement et à la main des bijections
> entre ensembles "qui ne se ressemblent pas trop" (laborieux en tout cas).
C'est exact, mais souvent intéressant pour "mettre le doigt dessus" quand on
a pas l'habitude de considérer comme bijectifs des ensembles apparemment
assez éloignés (cf fil récent, assez sympa, essayant de mettre en avant une
bijection simple entre Q et N).
Posted by: Xavier Caruso
Patrick Coilland wrote:
>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>> transforme,
>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
> Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
> parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des
> topotrucs, ... .
Moi, il me semblait que le monsieur il parlait de bijections de C dans
C, mais je n'ai pas tout compris à ce thread... donc oubliez mes
commentaires ;-).
Posted by: Patrick Coilland
:
>>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>>> transforme,
>>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>>
>
> Moi, il me semblait que le monsieur il parlait de bijections de C dans C,
> mais je n'ai pas tout compris à ce thread... donc oubliez mes commentaires
> ;-).
C'est exact, mais comme il dit ensuite "qui transforme ... le plan en
cercle" et que une bijection de C dans C tansforme a priori le plan (C, je
pense) en lui-même, certains contributeurs - dont au moins moi - ont
interprété cela comme :
"Je me demande s'il existe une application C sur C qui soit une bijection du
plan sur, par exemple, un cercle ou quelque chose dans ce genre"
Je reconnais que c'est pratique de faire sa propre interprétation de la
question et d'y répondre ... ;-)
Mais puisque le monsieur ne s'est pas manifesté depuis sa question ...
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 11:01:53 +0100, Patrick Coilland wrote:
> C'est exact, mais souvent intéressant pour "mettre le doigt dessus" quand on
> a pas l'habitude de considérer comme bijectifs des ensembles apparemment
> assez éloignés (cf fil récent, assez sympa, essayant de mettre en avant une
> bijection simple entre Q et N).
Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
R^2 :)
--
Nicolas
Posted by: Patrick Coilland
>
> Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
> R^2 :)
>
Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
plus immédiat) :
1) bijection simple de R^2 dans ]0,1[^2 : f2(x,y)=(1/2+arctan(x)/pi,
1/2+arctan(y)/pi)
(Nota : arctan étant de R dans ]-pi/2, pi/2[)
2) bijection de ]0,1[^2 dans [0,1[^2 : f3(x,y)=(g(x),g(y)) avec :
g(x) = x + 1 - 3(2^Ent(log_2(x)))
(Nota : Ent(x) étant l'unique entier n tel que n <= x < n+1, même pour x
négatif)
Explication : on écrit x en base 2, puis on inverse (1 en 0, 0 en 1) tous
les digits à droite de la virgule jusqu'au premier 1 inclus, le reste
inchangé.
3) bijection de [0,1[^2 dans [0,1[ :
Soient les trois suites u_i, v_i, w_i définies ainsi :
u_0 = x (avec x dans [0,1[
v_0 = y (avec y dans [0,1[
w_0 = 0
Alors f4(x,y) = lim(n->infini, w_n) est une bijection de [0,1[^2 dans
[0,1[.
Explication : on écrit x et y en base 2, puis on fabrique f4(x,y) en
constituant sa représentation en base 2 en copiant alternativement celle de
x et celle de y mais en arrêtant la copie dès qu'un 0 est rencontré (après
l'avoir copié).
5) les étapes 1 et 2 à l'envers
Voilà, c'était pour le plaisir ... . (euhh, le mien en tout cas)
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 15:35:22 +0100, Patrick Coilland wrote:
> > Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
> > R^2 :)
>
> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
> plus immédiat) :
Oui, ça tient en une ou deux lignes :)
--
Nicolas
Posted by: Patrick Coilland
>> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
>> plus immédiat) :
>
> Oui, ça tient en une ou deux lignes :)
>
C'est possible, et je n'ai jamais revendiqué le summum de la simplicité.
Tous mes posts sur ce sujet sont prudents et *humbles*.
Disons que tu m'aurais probablement évité de me ridiculiser en donnant au
monsieur dès ton premier post les deux lignes "que tout le monde semble
connaître" et qui donnent la bijection du plan sur un cercle.
Patrick
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 15:48:10 +0100, Patrick Coilland wrote:
> >> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
> >> plus immédiat) :
> >
> > Oui, ça tient en une ou deux lignes :)
> >
>
> C'est possible, et je n'ai jamais revendiqué le summum de la simplicité.
> Tous mes posts sur ce sujet sont prudents et *humbles*.
Je suppose que c'est par opposition aux miens.
> Disons que tu m'aurais probablement évité de me ridiculiser en donnant au
Tu n'as absolument pas été ridiculisé. Mon seul mérite a été d'avoir lu
une fois par hasard un exemple de bijection, exemple que je n'aurais
jamais pu trouver tout seul. A mon avis, je n'aurais pas non plus
trouver celle que tu as donnée.
Pour moi, en trouver une de deux lignes donne plus de mérite à celui qui
l'a trouvée qu'il n'en enlève à celui qui en ont trouvé des plus
laborieuss.
> monsieur dès ton premier post les deux lignes "que tout le monde semble
> connaître" et qui donnent la bijection du plan sur un cercle.
Je n'ai jamais sous-entendu que tout le monde semblait la connaître,
c'est une extrapolation visant à me désigner comme le gros méchant pas
beau, c'est très vilain de faire ça.
Sinon, pour assouvir la curiosité de certains, la bijection est la
suivante:
Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
simple)
Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
non nul ...
Ex:
Si x = 0,0001203...
et y = 0,2104...
Alors f(x,y) = 0,00012210304
On voit que l'on peut facilement reconstruire x et y à l'aide de f(x,y)
--
Nicolas
Posted by: Patrick Coilland
>
> Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
> illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
> simple)
>
> Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
> son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
> l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
> jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
> entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
> non nul ...
>
C'est vraiment très drôle !
C'est exactement la mienne, sauf que je suis en base 2.
Posted by: Patrick Coilland
>
> Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
> illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
> simple)
>
> Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
> son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
> l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
> jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
> entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
> non nul ...
>
Le réel x=0,0100100100100100100100100 de ]0,1[ a comme antécédent (0;
0,101010..) qui n'est pas dans ]0,1[^2.
C'est la raison pour laquelle je passe d'abord par [0,1[, ce qui nécessite
une bijection de ]0,1[ dans [0,1[, soit quelques lignes de plus.
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 15:59:14 +0100, Patrick Coilland wrote:
> C'est vraiment très drôle !
>
> C'est exactement la mienne, sauf que je suis en base 2.
Tiens, c'est vrai que l'écriture de la vôtre en base 2 permettait une
définition plus formelle mais que je trouvais en révanche moins lisible.
Sinon, à moins que je ne me trompe, vous vous arrêtez au premier 0 alors
que je m'arrête au premier chiffre non nul. Or x peut par exemple ne
plus contenir aucun 0 après un certain rang, non ?
--
Nicolas
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 16:05:37 +0100, Patrick Coilland wrote:
> Le réel x=0,0100100100100100100100100 de ]0,1[ a comme antécédent (0;
> 0,101010..) qui n'est pas dans ]0,1[^2.
>
> C'est la raison pour laquelle je passe d'abord par [0,1[, ce qui nécessite
> une bijection de ]0,1[ dans [0,1[, soit quelques lignes de plus.
Non, je n'ai pas la même bijectiin que vous.
--
Nicolas
Posted by: Patrick Coilland
">
> Le réel x=0,0100100100100100100100100 de ]0,1[ a comme antécédent (0;
> 0,101010..) qui n'est pas dans ]0,1[^2.
>
> C'est la raison pour laquelle je passe d'abord par [0,1[, ce qui nécessite
> une bijection de ]0,1[ dans [0,1[, soit quelques lignes de plus.
>
oups ... Ne pas tenir compte
Désolé
Posted by: Patrick Coilland
>
> Sinon, à moins que je ne me trompe, vous vous arrêtez au premier 0 alors
> que je m'arrête au premier chiffre non nul. Or x peut par exemple ne
> plus contenir aucun 0 après un certain rang, non ?
>
Non, en base 2, ne plus contenir aucun 0 serait "ne contenir que des 1" et
on est dans le cas des dualités de représentation : je considère que l'on
prend la représentation qui ne se termine pas par une infinité de 1.
Posted by: Patrick Coilland
">
> Non, je n'ai pas la même bijectiin que vous.
>
Exact, mais j'ai l'impression *amha*(1) que le problème existe quand même :
L'antécédent de 0,191919191919.. est (0,111... ; 0,99999999) qui n'est pas
dans ]0,1[^2
(1) après mon erreur de tt à l'heure, je me méfie ... ;-)
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 16:14:25 +0100, Patrick Coilland wrote:
> Exact, mais j'ai l'impression *amha*(1) que le problème existe quand même :
>
> L'antécédent de 0,191919191919.. est (0,111... ; 0,99999999) qui n'est pas
> dans ]0,1[^2
En effet, il faut peut-être inclure 1 et (1,1) dans les ensembles.
--
Nicolas
Posted by: Patrick Coilland
>
> En effet, il faut peut-être inclure 1 et (1,1) dans les ensembles.
>
d'où l'obligation de passer de R à ]0,1], ce qui n'est pas absolument
immédiat (c'est la raison de ma bijection préliminaire de ]0,1[ dans [0,1[).
Cordialement
Patrick
Posted by: Nicolas Le Roux
On Thu, 25 Nov 2004 16:21:39 +0100, Patrick Coilland wrote:
> d'où l'obligation de passer de R à ]0,1], ce qui n'est pas absolument
> immédiat (c'est la raison de ma bijection préliminaire de ]0,1[ dans [0,1[).
Aaaaaaaah, c'était donc pour ça :)
> Cordialement
Wow, y a du progrès ;)
--
Nicolas, qu'il faut que j'arrête de mettre des smileys partout, je vais
virer con
Posted by: Nicolas Richard
Nicolas Richard a écrit :
> Sinon évidemment qu'il existe une bijection entre "un plan" (R^2) et
> "un cercle" (R union {oo}, par exemple) mais c'est pas intéressant.
Je précise "c'est pas intéressant de l'exhiber si on sait que c'est très
chiant à faire" pour ne pas vexer patrick ;)
D'autre part je retourne me coucher (en réalité me doucher, mais ma vie
privée ne vous regarde pas) étant donnée la remarque de Xavier sur la
question initiale.
--
Nico, et je vous ai pas raconté que j'avais séché 2h sur un truc
parce que (2*1/4)/(8*1/16) = 4 dans mon esprit torturé.
Il n'y a pas qu'ici que je débite des aneries
Posted by: Olivier Miakinen
Le 25/11/2004 16:00, Nicolas Le Roux a écrit :
>
> Sinon, pour assouvir la curiosité de certains, la bijection est la
> suivante:
>
> Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
> illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
> simple)
Plutôt ]0,1]^2 dans ]0,1] (voir plus loin)
> Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
> son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
> l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
> jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
> entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
> non nul ...
>
> Ex:
>
> Si x = 0,0001203...
> et y = 0,2104...
>
> Alors f(x,y) = 0,00012210304
Je me suis demandé pendant un moment pourquoi tu choisissais cette
définition compliquée au lieu de prendre simplement un chiffre de x,
puis un chiffre de y, puis un chiffre de x, puis un chiffre de y, etc.,
sans faire un cas particulier pour les 0.
Et puis j'ai compris que pour f(x,y) = 1/11 = 0,0909090909... cela donne
x=0,00000... et y=0,99999... ce qui contredit plusieurs hypothèses
(nombres entre 0 et 1 exclus, écriture décimale illimitée).
Malgré tout, il reste un problème pour f(x,y) = 11/111 = 0,099099099...
qui donne x = 0,09090909... = 1/11 mais y = 0,99999... = 1. J'ai
l'impression que ce problème disparaît si on accepte 1 partout.
Qu'en penses-tu ?
--
Olivier Miakinen
Non, monsieur le juge, je vous le jure : jamais je n'ai cité
Bruxelles dans ma signature.
Posted by: Patrick Coilland
> Malgré tout, il reste un problème pour f(x,y) = 11/111 = 0,099099099...
> qui donne x = 0,09090909... = 1/11 mais y = 0,99999... = 1. J'ai
> l'impression que ce problème disparaît si on accepte 1 partout.
>
> Qu'en penses-tu ?
>
Salut Olivier,
C'est la raison de plusieurs de nos échanges plus haut dans ce fil.
Pour utiliser cette approche, Nicolas a en fait besoin de travailler
de ]0,1]^2 dans ]0,1].
De la même façon, dans mon approche (qui arrête la copie au premier 0, et
non au premier non nul), j'ai besoin de travailler de [0,1[^2 dans [0,1[.
Une fois ces corrections effectuées, il n'y a pas de problèmes ... sauf que
s'il est immédiat de trouver une bijection de R dans ]0,1[ pour commencer le
raisonnement, il l'est légèrement moins de trouver une bijection de R dans
[0,1 [ ou ]0,1].
C'est la raison pour laquelle ma démonstration commence par une bijection
de ]0,1[ dans [0, 1[, évidemment adaptable pour en faire une bijection
de ]0,1[ dans ]0,1].
Voilà voilà.
Posted by: Olivier Miakinen
Le 26/11/2004 12:58, Patrick Coilland a écrit :
>
> Salut Olivier,
Salut Patrick (pas pu m'empêcher...)
> C'est la raison de plusieurs de nos échanges plus haut dans ce fil.
> [...]
Oups ! Pour une raison que je ne m'explique pas j'ai zappé une bonne
dizaine d'articles sans les lire. Je viens de les lire, et en effet je
n'écris strictement rien de nouveau. Pardon pour le dérangement. ;-)
--
Olivier Miakinen
Non, monsieur le juge, je vous le jure : jamais je n'ai cité
Bruxelles dans ma signature.
Posted by: LGUINETON
>Nico, et je vous ai pas raconté que j'avais séché 2h sur un truc
>parce que (2*1/4)/(8*1/16) = 4 dans mon esprit torturé.