Mathématiques - exo complexe (geometrie) ...verification..!!

exo complexe (geometrie) ...verification..!!
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: izamane95

bonsoir
on pose pour tout polygone $Z=(z_{0},z_{1},.....z_{n+1})\in C^{n}$ (on rappelle que l'on note $z_{n}=z_{0}$ ):
$L(Z)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|, E(Z)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|^{2}$ et $A(Z)=1/2Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\bar{z_{k}}z_{k+1})$
1)-interpreter geometriquement les quantités L(Z) et A(Z)
2)-Calculer L(Z), E(Z), |A(Z)| lorsque Z est ub polygone regulier inscrit ds un cercle de rayon R.en deduire ,ds ce cas ,la valeur des rapports $|A(Z)|/L(Z)^{2}$ ,|A(Z)|/E(Z), $L(Z)^{2}$ /E(Z) on pourra commencer par le cas ou $z_{k}=Rw^{k}$
pour 1) question j'ai interpreter L(Z) comme le barycentre d'un polygone regulier de coté n A(Z) comme l'aire d'un polygone tout ça par deduction et en fait je sais pas comment le jutifier si quelqu'un peut m'aiderpour la redaction(deja est ce que mes interpretations sont bonnes ??)
pour la 2)jai calculer L(Z)je trouve 1 pour les autres je ne vois pas du tt comment proceder
aider moi s'il vous plait et merci d'avance et vive les maths

Posted by: fahr451

bonsoir

L comme longueur ...

en effet A comme aire

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par fahr451

bonsoir

L comme longueur ...

en effet A comme aire

en fait Z est un polygone desolé je l'avait pas met des le debut c'est pour ça que j'ai interpreter L(Z) comme le barycentre.........
donc au niveau de la redaction je suis pas obligé de justifier je met juste ça??

Posted by: fahr451

L est le périmètre du polygone
un barycentre est un point

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par fahr451

L est le périmètre du polygone
un barycentre est un point

hummm peux tu m'expliquer un petit peux s'il te plait par ceque je vois pas du tt là

Posted by: Rain'

L est , d'après sa définition, une somme de réels positifs. De plus on s'aperçoit qu'il s'agit de la somme de la distance qui lie deux points consécutifs. C'est typiquement la définition du périmètre.

Sinon fahr te fait comprendre que ça peut pas être le barycentre car le barycentre d'un système de points est un point ( ici un complexe) et non une distance (réel positif).

Posted by: izamane95

ok parfair Rain' merci a vous deux pour ces eclaircissement ; j'avoue j'ai ete un peu à l'ouest quoi
sinon pour la 2) pour L(Z) je trouve 1 si vous trouvez pas la meme chose je vous detaillerai mes calcul

Posted by: Rain'

Sans calculs. Tu crois pas que le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon R dépend et de R et de n ?

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

Sans calculs. Tu crois pas que le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon R dépend et de R et de n ?

si visiblement en regardant mes calcules j'obseve que des la trois eme ligne j'ai plus mis $2R_{n}$ en facteur donc ça fait $2R_{n}$ * $1$ = $2R_{n}$ c'est bon ou je me suis encore gré quelque part..!!
pour E(Z) je trouve $4(R_{n})^{2}$ c'est ok ??

Posted by: Rain'

Si R = 1 et n = 4, on a un carré inscrit dans un cercle de rayon 1 donc de côté $\sqrt{2}$ donc de périmètre $4\sqrt{2}$ . Ca a pas l'air de coller avec ta formule.

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

Si R = 1 et n = 4, on a un carré inscrit dans un cercle de rayon 1 donc de côté $\sqrt{2}$ donc de périmètre $4\sqrt{2}$ . Ca a pas l'air de coller avec ta formule.

voiçi mes calcules :

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|$ = $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|Rw^{k+1}-w^{k}|$
= $R_{n}|w^{1}-w^{n}|=R_{n}|e^{2ipi/n}-e^{2ipi}|$
= $R_{n}|e^{ipi/n}(e^{ipi/n-e^{-ipi/n})|$
= $R_{n}|e^{ipi/n}2isin(pi/n)| =2R_{n}$ car| $e^{ipi/n}isin(pi/n)|=1$
qu'est ce que vous en penser

Posted by: Joker62

Pour moi, le périmètre d'un polygône régulier, c'est la longueur d'un côté fois le nombre de côtés !

C'est quoi R_n dans tes calculs ?

Posted by: Rain'

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|$ = $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}R|w^{k+1}-w^{k}|$
= $Rn|w^{1}-w^{n}|=Rn|e^{2ipi/n}-e^{2ipi}|$
= $Rn|e^{ipi/n}(e^{ipi/n}-e^{-ipi/n})|$
= $Rn|e^{ipi/n}2isin(pi/n)| =2Rnsin(pi/n)$ car $|e^{ipi/n}isin(pi/n)|=sin(pi/n)$

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Joker62

Pour moi, le périmètre d'un polygône régulier, c'est la longueur d'un côté fois le nombre de côtés !

C'est quoi R_n dans tes calculs ?

$R_{n}$ c'est le module de la somme des $z_{k}$ puisque au debut on avait posé
$z_{k}=Rw^{k}$

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|$ = $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}R|w^{k+1}-w^{k}|$
= $Rn|w^{1}-w^{n}|=Rn|e^{2ipi/n}-e^{2ipi}|$
= $Rn|e^{ipi/n}(e^{ipi/n}-e^{-ipi/n})|$
= $Rn|e^{ipi/n}2isin(pi/n)| =2Rnsin(pi/n)$ car $|e^{ipi/n}isin(pi/n)|=sin(pi/n)$

ok ok je vois tres bien mon erreur en fait j'ai considerer isin(pi/n) comme un angle alors que c'est une cste....
pour |A(Z)|:
$|A(Z)|=1/2|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\bar{z_{k}}z_{k+1})|= 1/2|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}R\bar{w_{k}}Rw_{k+1})|=1/2R_{n}|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\bar{w_{k}}e^{1}|$ =........
en fait je me bloque ici

Posted by: Rain'

Citation:

Posté par izamane95

ok ok je vois tres bien mon erreur en fait j'ai considerer isin(pi/n) comme un angle alors que c'est une cste....

hein ?

i sin(pi/n) est un imaginaire pur (donc pas un angle) absolument pas constant puisqu'il dépend de n.

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

hein ?

i sin(pi/n) est un imaginaire pur (donc pas un angle) absolument pas constant puisqu'il dépend de n.

d'accord ....oui effectivement, ensuite je trouve que $E(Z)=4(R_{n})^{2}sin(pi/n)^{2}$ c'est OK ??
pour |A(Z)|:
$|A(Z)|=1/2|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\bar{z_{k}}z_{k+1})|= 1/2|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}R\bar{w^{k}}Rw^{k+1})|=1/2R_{n}|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\|...?...|$ =........
en fait je me bloque ici
JE PENSE à FAIRE UN CHANGMENT DE VARTIABLE MAIS çA SERA LONG :

$1/2R_{n}|Im(\displaystyle \sum_{k,l}w^{|.......|$ ouf je sais plus je m'enbrouille là

Posted by: izamane95

debloquez moi s'il vous plait

Posted by: izamane95

aucune idée depuis tt al'heure j'essaie en grattant deux feuilles de brouillant mais aucune idee ne marche

Posted by: Rain'

y a aucune difficulté , ca fait quoi w^k barre * w^(k+1) ?

Posted by: izamane95

c'est $-w^{k}$ * $w^{k+1}=-w^{2k+1}$ ...!!!
en fait j'ai dejà essayer avec ça mais j'arrive pas à conclure parce que on veux la partie imaginaire ............

Posted by: Rain'

bah non

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

bah non

bah à quoique ça fait $1/w^{k}$ * $w^{k+1}$ = $w^{-k+k+1}=w^{1}=e^{2ipi/n}$
c'est ça ??

Posted by: Rain'

certes . et donc ?

Posted by: izamane95

$1/2R^{2}|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\bar{w^{k}}w^{k+1})| =$
$1/2R^{2}|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}e^{2ipi/n}|=$
$1/2R^{2}|Im(\displaystyle (1- (e^{2ipi/n})^{n})/(1- e^{2ipi/n})|$
si $e^{2ipi/n}$ different de 1 ça fait 0
si $e^{2ipi/n}=1$ alors
$1/2R^{2}|Im(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}e^{2ipi/n}|= 1/2R_{n}|Im\displaystyle n |$

Posted by: Rain'

C'est pas Rn c'est R² et tu fais une somme sur k , pas sur n .

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

C'est pas Rn c'est R² et tu fais une somme sur k , pas sur n .

d'accord pour la premiere condition en fait j'ai po fait attention( j'ai edité) mais pour la deuxieme c'est tout a fait ce que j'ai fait j'ai sommé sur k

Posted by: Rain'

Ca sert à rien de développer la somme, tu sommes sur k quelque chose qui ne dépend que de n donc ça vaut directement n*e^(2ipi/n) sans calcul

Posted by: izamane95

Citation:

Posté par Rain'

Ca sert à rien de développer la somme, tu sommes sur k quelque chose qui ne dépend que de n donc ça vaut directement n*e^(2ipi/n) sans calcul

c'est |A(Z)| qui est egale à ça ou la partie imaginaire de la somme ou....??

Posted by: Rain'

Je te parle que de la somme là,

Pour en déduire A(Z), suffit de trouver la partie imaginaire, c'est à dire sortir un sinus et c'est fini.

Posted by: izamane95

DS CE CAS LA PARTIE IMAGINAIRE DE LA SOMME c'est nsin(2pi/n)
c'est bien ça ??

Posted by: Rain'

tout à fait.

Posted by: izamane95

ET donc |A(Z)|= $1/2(R_{n})^{2}|nsin(2pi/n)|$ = $1/2(R_{n})^{2}nsin(2pi/n)$ ( en fait depui le debut c'etait |A(Z)| que je calculais.....!)
c'est ok ??
et je trouve pour $E(Z):E(Z)=4(R_{n})^{2}sin(pi/n)^{2}$ c'est bon aussi ??
je remarque que E(Z)=L(Z)²
en attendant vos affirmation je repose sur mes resultats pour la suite
|A(Z)|/l(Z)²=( $1/2(R_{n})^{2}nsin(2pi/n)$ )/ $(4(R_{n})^{2}(sin(pi/n))^{2} = 1/4 n cotan(pi/n)$ apres simplification

$|A(Z)|/E(Z)=|A(Z)|/l(Z)^{2}=1/4 n cotan(pi/n)$
et l(Z)²/E(Z)=1 mais je suis pas sur que E(Z)=L(Z)²du moins c'est ce que j'ai trouvé ds mes calculs mais je doute parce que a cause de l'enchainnement de la question 2) bah si E(Z)=L(Z)²ils aurait pu commencé par demonder l(Z)²/E(Z)
j'attend vos affirmations

Posted by: izamane95

aucune affiration alors.............!!!!
vous trouvez la meme chose ou pas ??

Posted by: izamane95

bon ok on commence par E(Z) on a : $E(Z)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|^{2}$ on posant $z_{k}=Rw^{k}$
est ce que vout trouvez que $E(Z)=4(R_{n})^{2}(sin(pi/n))^{2}$