Mathématiques - complétude de l^oo

complétude de l^oo
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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour,

je cherche à montrer que l'espace des suites réelles $(l^{\infty},||.||_{\infty})$ est complet.

On fixe donc $(x^N)$ une suite de Cauchy de $(l^{\infty},||.||_{\infty})$ ,

pour tout $k\in \mathbb{N}$ , $(x_k^N)_N$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ , donc converge vers un réel $x_k$ . Notons $x=(x_k)$ .

Comme $(x^N)$ est de Cauchy, elle est bornée,
ie il existe un réel $M>0$ tel que pour chaque entier $N\in \mathbb{N}$ , $||x^N||_{\infty}\leq M$ .

Ainsi pour tout entier $k$ , $|x_k|\leq |x_k-x_k^N|+|x_k^N|\leq |x_k-x_k^N|+M$ ,
et comme $|x_k-x_k^N|\rightarrow 0$ quand $N\rightarrow +\infty$ , $|x_k|\leq M$ ,
et donc $x\in l^{\infty}$ .

Mais je ne vois pas comment montrer que $||x-x^N||_{\infty} \rightarrow 0$ quand $N\rightarrow +\infty$ .

Merci pour votre aide.

Posted by: legeniedesalpages

bon j'ai trouvé en fait.

Merci :)