Compact

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: muse

Bonjour.

Soit S l'ensemble des x tel que x appartenant a R3 et ||x||=1 (norme quelconque)
Montrer que S est un compact.

Je sais qu'une espace compact est fermé borné. Mais je vois pas comment montrer que S est fermé ni borné.

Pour borné je pensais dire que si ||x||=1 alors S est une sphere, Un Boule de rayon 1 et centre 0 :B(0,1)
mais c'est qu'une idée je ne saurai aller plus loin.

Merci


Posted by: Jean_Luc

Salut,

Quelques éléments de réponse ici.


Posted by: abcd22

Bonjour,
Le lien parle de la différence entre la dimension finie et la dimension infinie pour la définition des compacts, je doute que ce soit ça le problème ici, quand on commence à étudier la compacité on ne considère que la dimension finie et on définit les compacts comme étant les fermés bornés.


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par muse
Pour borné je pensais dire que si ||x||=1 alors S est une sphere, Un Boule de rayon 1 et centre 0 :B(0,1)
mais c'est qu'une idée je ne saurai aller plus loin.

Quelle est la définition de « borné » ? et de « fermé » ?


Posted by: muse

La definition de bornée et fermé... J'ai trop de mal avec ça ...
Je pense que un ensemble et bornée s'il existe un majorant et un minorant. Et fermé je ne sais pas.


Je c'est que tout interval de R et borné et fermé.

Apres je maitrise pas bien le sujet :( d'ou ma venue ici :)


Posted by: nonam

Citation:
Posté par muse
Je pense que un ensemble et bornée s'il existe un majorant et un minorant.


Pour qu'on puisse parler de majorant et de minorant, il faut que l'ensemble soit ordonné, ce qui n'est pas nécessairement le cas ! D'où la définition, sur un ensemble quelconque, de "norme" (ou distance) qui permet de se ramener à R, ordonné.
On dit qu'une partie est bornée, si elle est contenue dans une boule de rayon finie. Ce qui est clair d'après ce que tu as fait.
Citation:
Posté par muse
Je c'est que tout interval de R et borné et fermé.

Attention ! tout SEGMENT de R est fermé et borné. R est un intervalle de R, mais n'est pourtant pas borné.


Posted by: muse

Hum ok.

Alors est ce qu'une espace est borné si la norme des element de cette ensemble est majoré ?

Dans mon exemple est ce que l'ensemble des x appartement a S est borné pcq la norme de n'importe quel x est plus petit que 2 (puisque ils sont tous egale a 1) ?


Posted by: nonam

oui, à tes deux questions.


Posted by: muse

et comment on montre que c'est fermé ?

On m'a dit:
1 est un fermé ll.ll adminet une reciproque et la riproque d'un fermé est un fermé donc S est fermé.

Je suis pas d'accord pour moi ii.ii n'admet pas de réciproque pcq c'est pas bijectif. si llXll=1 c'est pas pour ça qu'on va trouver X... il y a une infinité de points qui ont pour norme 1.

Merci


Posted by: nonam

Tu n'as pas du bien comprendre ce qu'on t'a dit :
||.|| n'admet pas de réciproque je suis d'accord.
Mais S est l'image réciproque du fermé \{1\} par l'application continue : ||.||, donc S est fermé.
(ne pas confondre réciproque, et image réciproque : l'image réciproque de \{1\} par ||.|| est l'ensemble des antécédents de 1 par ||.||)


Posted by: quinto

Si tu ne sais pas ce que signifient fermé ou borné, ce n'est pas la peine de t'attaquer à ce problème, tu devrais d'abord maitriser la base.


Posted by: muse

Citation:
Posté par nonam
Tu n'as pas du bien comprendre ce qu'on t'a dit :
||.|| n'admet pas de réciproque je suis d'accord.
Mais S est l'image réciproque du fermé \{1\} par l'application continue : ||.||, donc S est fermé.
(ne pas confondre réciproque, et image réciproque : l'image réciproque de \{1\} par ||.|| est l'ensemble des antécédents de 1 par ||.||)


Haa effectivement je comprend ce qu'on mon collegue voulait me dire.

Citation:
Si tu ne sais pas ce que signifient fermé ou borné, ce n'est pas la peine de t'attaquer à ce problème, tu devrais d'abord maitriser la base.


C'est quand meem plus facile sur un exemple "concret"

Merci










-