Mathématiques - compacité

compacité
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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

Soit $c_0$ le sous-espace de $(l^{\infty},||.||_{\infty})$ constitué des suites réelles tendant vers 0, muni de la norme induite.

On considère une suite $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ croissante vers $+\infty$ de réels strictement positif. On note

$E=\{x=(x_n)_{n\geq 1}:\ (\alpha_n x_n)_{n\geq 1}\in c_0\}$ .

On montre que $E$ est un sous-espace vectoriel dense de $(c_0,||.||_{\infty})$ . On munit $E$ de la norme $||x||_E= \sup_n\ |\alpha_n x_n|$ .

Montrer que les boules fermées de $(E,||.||_E)$ sont des convexes compacts de $(c_0,||.||_{\infty})$ .

Bon c'est au niveau de la compacité que je bloque.

Merci pour votre aide.

Posted by: ThSQ

Sympa le coup de boules fermées qui sont compactes pour une autre norme (Riesz peut dormir en paix !).

J'ai dans l'idée que ça se fait bien avec compact = complet et précompact (cas métrique)

Posted by: ffpower

Je pense que ca se fait "a la main". Soit $x^k=(x_n^k)_n$ une suite d element de c0 bornée pour la norme de E. En particulier pour tout n, $(x_n^k)_k$ est bornée.On fait une extraction diagonale(tu connais?) pour obtenir une suite $k_j$ telle que pour tout n, $x_n^{k_j}$ converge quand j tend vers l infini,vers disons $y_n$ .On pose $y=(y_n)_n$ ,il reste a voir que $x^{k_j}$ converge vers $y$ pour la norme de c0,je te laisse essayer

Posted by: Lierre Aeripz

Je suis d'accord avec ffpower, la méthode marche bien. (Mise à part la faute d'étourderie : il faut vérifier la convergence pour la norme infinie.)

La méthode de ThSQ soit aussi marcher et à vue de nez, si on s'amuse à rédiger les deux méthodes, on doit retrouver presque la même chose.

Posted by: legeniedesalpages

Merci, j'ai suivi le plan "précompact+complet", ça fonctionne bien.

Une extraction diagonale, je ne vois pas vraiment ce que c'est, j'aurais dit intuivement la suite $(x_k^k)_k$ ?

Posted by: ffpower

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Une extraction diagonale, je ne vois pas vraiment ce que c'est, j'aurais dit intuivement la suite $(x_k^k)_k$ ?

Pas tout a fait:Si on a 2 suites réelles bornées,on sait que l on peut extraire simultanément 2 sous suites convergentes.Idem avec un nb fini de suites.L extraction diagonale permet d extraire des sous suites convergentes pour un nb dénombrable de suites:On choisit une extraction $\phi_1$ telle que $x_1^{\phi_1(k)}$ converge,puis a partir des $\phi_1(k)$ on réextrait pour obtenir $\phi_2$ telle que $x_2^{\phi_2(k)}$ converge,puis on réextrait pour obtenir $\phi_3$ ,ect..et on pose $k_j=\phi_j(j)$ qui permet de faire converger toutes les suites $(x_n^{k_j})_j$

Sinon j ai corrigé mon étourderie du post précédent,merci de me l avoir fait remarquer..

Posted by: legeniedesalpages

merci cette méthode a l'air bien pratique, je la retiens. :)