Mathématiques - Comment démontrer que la valeur médiane minimise l'ecart moyen?

Comment démontrer que la valeur médiane minimise l'ecart moyen?
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Posted by: aze321

Bonjour,

Tout est dans le titre: comment démontrer que $\xi(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{|x_i-x|}$ atteint son minimum lorsque que $x$ est égale à la valeur médiane des $x_i$ ?

Voilà où j'en suis dans ma démonstration:
La valeur absolue n'est pas dérivable en 0 donc on ne peut pas appliquer une approche traditionnelle basée sur le calcule de la dérivée.
Néanmoins la dérivée est définie de chaque cotès de $x_i$ ainsi $\lim_{x \to x_i^-}|x_i-x|'=-1$ et $\lim_{x \to x_i^+}|x_i-x|'=1$ elle est donc "croissante par morceau" donc la somme des dérivées de $\xi'$ sera aussi "croissante par morceau" donc $\xi$ n'admettra qu'une seule valeur minimale si $N$ est impaire et au maximum 2 si $N$ est paire.
Mais comment démontrer qu'il y a autant de $x_i$ d'un coté que de l'autre de cette valeur ?

jp

Posted by: nuage

Salut,
le graphe de $\xi(x)$ est formé de morceaux de droites.
$|x_i-x|$ a pour coefficient directeur -1 si $x<x_i$ 1 sinon.
le coefficient directeur de $\xi(x)$ est donc le nombre de $x_i$ inférieurs à $x$ moins le nombre de $x_i$ supérieurs à $x$ (le tout sur N, mais ça n'a pas d'importance ici).
La fonction est donc décroissante au voisinage de $x$ si il y a plus de $x_i$ inférieurs à $x$ que de supérieurs, croissante sinon.

Juste une remarque : le minimum peut-être atteint sur tout les points d'un segment.

Posted by: aze321

Merci pour ta réponse, tu ne sait pas ce que cela représente pour moi : lorsque l'on bloque sur un truc et que l'on avance plus après car cela ne nous intéresse plus autant...
C'est par des gestes désintéressés comme les vôtres que l'humanité s'améliore !!
:)