Coloriage du plan

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Posted by: Galt

Je reprends une ancienne question : On peint tous les points d'un plan en utilisant 3 couleurs. Peut-on être certain que quel que soit le réel positif d, on pourra trouver 2 points du plan de la même couleur dont la distance est égale à d ?


Posted by: JC_Master

Le plan est infini?
Si oui -> Le coloriage est infini donc on fait rentrer tout R dedan
Si non -> Et bien a une certaine valeur de d on sort du plan
C'est sa?
*a pas bien comprit la question O_o *


Posted by: Galt

Comme tous les plans qui se respectent, le mien est infini


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par Galt
Comme tous les plans qui se respectent, le mien est infini


Et bien, le peintre n'est pas pres d'avoir fini !
A mon avis, pourtant, le probleme est la, il doit exister un coloriage qui permet de trouver une distance pour laquelle il n'y a pas deux points de la meme couleur, mais c'est un coloriage ou il n'y a pas non plus deux points adjacents de la meme couleur, et meme les plus grands pointillistes ne peuvent le realiser !


Posted by: JC_Master

Imposible, car il y a une infinitée de point adjacent a un point, donc il faudrais une infinitée de couleur. 3 sa ne sufit pas donc.

Donc ma première réponse somble celle qui convien le mieux :
Quel que soit la valeur d, si le plan est infini, on finiras toujours par trouver deux point espacer de D
Imaginon que l'on divise le plan en 3 zones, et bien on colirie et on a toute els aleures de D
Imaginons que l'on fasse de tout petit ercle de couleur, comme il y a une infinitée de point adjacent, et que 3 couleur, il y auras des packet de point, des packet de pettit cercle(packet de packet de point), et ainsi de suite... Au finale on retrouve forcément la solution pour d.
(Quelquin sait prouver ce que je vien de dire avec une formulation mathématique ?)

Edit : je vien de trouver la preuve contraire :( Tracez un cercle et coloriez le de bleu. Tracez autour un autre cercle colorier de rouge, et enfin le reste en vert. Impossible de trouver un point jaune a une distance de R_{jaune} + 1 :'(


Posted by: Patastronch

Bon ni ta preuve ni ton contre exemple sont juste.

Dans ton contre exemple on poura toujours relier 2 points vert par une distance quelconque.

Dans ta "pseudo" preuve : "Imposible, car il y a une infinitée de point adjacent a un point, donc il faudrais une infinitée de couleur. 3 sa ne sufit pas donc."

Cette phrase est fausse et je te laisse le soin de comprendre pourquoi c 'est pas difficile ...

Le probleme a l'air simple a premiere vue mais il ne l'est pas. En tous cas je bloque .

J'ai essayé de voir si avec 2 couleurs c etait possible et la réponse est evidente : oui , on prends un triangle equilateral de coté de longueur d pour le démontrer.

Dans un espace avec 3 couleurs la pyramide est egalement suffisante pour le prouver.

Dans le plan avec 3 couleurs je bloque.
J'ai essayé une architecture de pavage hexagonale (genre ruche) mais ca ne mene a rien, ou plutot la seule chose qu 'on arrive a prouver c est que :

Si il n'existe pas segment de longueur d dont les extrémités sont d'une meme couleur, alors il existe un segment de longueur d fois racine de 3 dont les extrémités sont de la meme couleur.

inversement :

Si il n'existe pas segment de longueur d fois racine de 3 dont les extrémités sont d'une meme couleur,alors il existe un segment de longueur d dont les extrémités sont de la meme couleur.

Resterait plus qu'a prouver que l'existance d'un segment de longueur d implique l'existence (ou l'inexistance) d'un segment de longueur d fois racine de 3 pour finir le probleme. (ou vice et versa)

J'ai pas encore cherché plus loin, mais c'est un joli probleme je dois l'avouer.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Patastronch
Si il n'existe pas segment de longueur d dont les extrémités sont d'une meme couleur, alors il existe un segment de longueur d fois racine de 3 dont les extrémités sont de la meme couleur.

Marrant, moi aussi je suis tombé sur racine(3) ! Et moi aussi, je suis coincé...
Si je ne dis rien, ce n'est pas par manque d'intérêt, c'est parce que je ne trouve pas...
Je suis d'accord avec Patastronch ! Très joli problème en vérité !
"Galt" laisse nous mariner quelque temps avant de nous dévoiler la solution : je voudrais bien avoir un peu de temps pour chercher...


Posted by: JC_Master

Pouquoi n'y a t'il pas une infinitée de point adjacent a un point? Un point n'a pas de taille, alors il y a une infinitée de rien dans un tout...
*A du louper quelque chose en route*

Sinon c'est forcément un segmen d? sa peut pas être une coube? Je sais c'est pas drole mais au moin je fait un efort.


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par JC_Master
Pouquoi n'y a t'il pas une infinitée de point adjacent a un point? Un point n'a pas de taille, alors il y a une infinitée de rien dans un tout...


Dans les reels, il n'y a pas de point adjacent, puisque si on en designe un, on peut toujours trouver un autre point entre les deux (le milieu du segment...)

Dans le monde reel, si on peint avec un pinceau, un rouleau, un pistolet, il faudra bien qu'on ait des points de taille finie, donc des points adjacents.


Posted by: scelerat

Je pense avoir trouve une construction qui produit un coloriage ou il existe une distance D pour laquelle on n'a pas 2 points de meme couleur a D l'un de l'autre.

Je ne devoile pas tout, mais en gros, je definis un coloriage "D-tricoloperiodique" comme un ensemble de points tels que si P appartient au coloriage, alors les points Q, R, S a la distance D dans les directions midi, 4 heures et 8 heures appartiennent aussi au coloriage et sont de la couleur suivant celle de P (la suivante de la 3e couleur est la premiere).
Je definis un anti-coloriage comme un ensemble de points pour chacun desquels une couleur est interdite.

Quand je peins un point, ca me definit un coloriage et un anti-coloriage D-tricoloperiodiques. Et si je regarde ce qui se passe quand je rajoute un nouveau point, ...


Posted by: quinto

Il me semble avoir déjà résolu ce problème dans ce forum, dans le cas où on cherchait à montrer qu'il existait un triangle isocèle, dont les sommets ont tous les mêmes couleurs.
C'était "constructif" en ce sens, que si ce n'était pas le cas, alors on arrivait à en trouver un, mais je pense finalement que la même démonstration, ne pourrait pas s'appliquer...


Posted by: Galt

Je sais prouver qu'avec 3 couleurs on peut quelle que soit la distance d trouver 2 points de la même couleur situés à la distance d (mais je vous laisse mariner un peu)
Quand il y a 4 (ou 5, 6, 7, 8) couleurs, je suis plus perplexe : je n'ai pas (encore ) trouvé de coloriage où cette propriété est fausse, mais je cherche.
Je sais le faire avec 9 couleurs
Voila l'état de ms connaissances.


Posted by: JC_Master

En fait, le but c'est de rpouver si il est possible d'avoir un coloriage dans un plan ou pour n'importe quel valeur de d et n'importe quel point P du plan, on auras toujour un point P' tel que PP'=d ou le contraire?
Ou bien de prouver que quelque soit la configuration que l'on fasse, on auras toujours cette propriéte PP'=d ou le contraire?

Parce que je croi qu'il est facile de trouver une configuration ou cette propriéte est vrai, et d'en trouver une autre ou elle est aussi fause...

Car ci on trace un cercle au centre du plan(qui est infini) et que l'on divise ce cercle en 3 partie, et que l'on paint 1partie=1couleur, on auras PP'=d pour n'importe quel point donner avec P' de même couleur que P... Non?
Voici une ilustration de ce que je veut dire :http://t4cwebserver.free.fr/Coloriage.gif


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par Galt
Je sais prouver qu'avec 3 couleurs on peut quelle que soit la distance d trouver 2 points de la même couleur situés à la distance d (mais je vous laisse mariner un peu)
Quand il y a 4 (ou 5, 6, 7, 8) couleurs, je suis plus perplexe : je n'ai pas (encore ) trouvé de coloriage où cette propriété est fausse, mais je cherche.
Je sais le faire avec 9 couleurs
Voila l'état de ms connaissances.

Il me semble que si on sait le demontrer pour 9 couleurs, la demonstration pour 4, 5, 6, 7 ou 8 couleurs est a la portee du daltonien lambda, non ?

J'ai la demonstration pour 3 couleurs, je cherche pour 9.


Posted by: Galt

Tu n'as pas compris le pb
Pour trois couleurs, montrer que quelle que soit la valeur de d, il y a deux points dans le plan dont la distance est égale à d et qui sont de la même couleur
Pour 9 couleurs : je sais trouver un coloriage et une valeur de d pour lesquel aucun segment de longueur d n'a ses extrêmités de la même couleur
De 4 à 8 couleurs : je ne sais pas lequel des deux est vrai.


Posted by: Chimerade

Ce n'est pas parce que je n'ai pas encore trouvé la réponse que je n'ai rien à dire sur tes commentaires ! Tu mélanges un peu tout !

Citation:
Posté par JC_Master
En fait, but c'est de rpouver si il est possible d'avoir un coloriage dans un plan ou pour n'importe quel valeur de d et n'importe quel point P du plan, on auras toujour un point P' tel que PP'=d ou le contraire?

Non ! Le but c'est de prouver que pour tous les coloriages et pour toutes les distances d il existera au moins un couple de points P et P' qui auront la même couleur ! Il ne s'agit pas de trouver au moins un coloriage qui... Il faut montrer que c'est vrai quel que soit le coloriage ! Et il ne s'agit pas non plus de dire que "quel que soit P on peut trouver P' ...". Il faut trouver 1 point P et 1 point P' tel que PP'=d !
Citation:
Posté par JC_Master
ou le contraire

Alors là : le contraire se quoi ! Ta phrase n'est déjà pas claire, alors son contraire, bonjour !
Citation:
Posté par JC_Master
Ou bien de prouver que quelque soit la configuration que l'on fasse, on auras toujours cette propriéte PP'=d ou le contraire?

Ca se rapproche, mais c'est encore mal dit : "on aura toujours cette propriété PP'=d" ce n'est pas clair ! De quels points P et P' parles-tu ? Pour être correct, il faut dire "Quelle que soit la configuration (du coloriage), et quel que soit d, il existe au moins un couple de points P et P' tels que PP' = d"
Citation:
Posté par JC_Master
ou le contraire

Même remarque !
Citation:
Posté par JC_Master
Parce que je croi qu'il est facile de trouver une configuration ou cette propriéte est vrai, et d'en trouver une autre ou elle est aussi fause...

Toujours la même remarque : dans ta phrase "cette propriété" est ambiguë ! De quelle propriété parles-tu ?
Citation:
Posté par JC_Master
Car ci on trace un cercle au centre du plan(qui est infini) et que l'on divise ce cercle en 3 partie, et que l'on paint 1partie=1couleur, on auras PP'=d pour n'importe quel point donner avec P' de même couleur que P... Non?

Et comment détermines-tu le centre du plan ?
Et puis "on aura PP'=d pour n'importe quel point donner avec P' de même couleur que P" ! De quel point P parles-tu ? De quelle valeur d parles-tu ?
Désolé, ce que tu dis n'est pas clair !

En conclusion je te donnes la meilleure formulation :
"Peut-on être certain que quel que soit le réel positif d, on pourra trouver 2 points du plan de la même couleur dont la distance est égale à d ?"
. Pas facile à deviner hein ! Sauf si on regarde le post de Galt !

J'ai pu me connecter sur http://t4cwebserver.free.fr/Coloriage.gif, et j'ai donc vu ton dessin, mais il n'apparaît pas sur mon écran lorsque je regarde ton post ! Suis-je le seul à avoir cet inconvénient ?


Posted by: JC_Master

Non j'ai mit le lien la place de l'image, pour ne pas encombrer inutilement le forum.

Donc, si je prouve qu'il existe une configuration, ou on ne pouras jamais avoir pour n'impote quèle réèle positife d et pour n'importe quel point P du plan un point P' de couleur P avec PP'=d, c'est utile?

Parce que j'ai une configuration qui respecte sa :
On colorie ainssi :
Citation:
Un point O sur le plan :
Un cercle C_1 de rayon r_1 réèle et de couleur Color_1 de centre 0
Un cercle C_2 de rayon r_2 réèle et de couleur Color_2 de centre 0
Un cercle C_3 de rayon r_3 réèle et de couleur Color_3 de centre 0
Un cercle C_4 de rayon r_4 réèle et de couleur Color_4 de centre 0
On colorie ces cercle dans l'ordre inverse de l'ordre dans le quel j'e vien de les nommer
...


Et on trouve bien des point P qui pour une distance d n'on pas de point P' de même couleur qui respecte PP'=d

Petite image : http://t4cwebserver.free.fr/Coloriage2.gif


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par Galt
Tu n'as pas compris le pb
Pour 9 couleurs : je sais trouver un coloriage et une valeur de d pour lesquel aucun segment de longueur d n'a ses extrêmités de la même couleur
De 4 à 8 couleurs : je ne sais pas lequel des deux est vrai.

C'est ce que tu savais faire avec 9 couleurs que je n'avais pas compris.

Il me semble qu'on doit pouvoir faire avec 8, en prenant des cercles de diametre d centres sur un reseau regulier carre de maille d, dont on peint l'interieur et la moitie de la circonference avec les 4 premieres couleurs, puis en peignant l'interieur et la moitie de la peripherie des etoiles qui restent avec les 4 autres ?


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par JC_Master
Donc, si je prouve qu'il existe une configuration, ou on ne pouras jamais avoir pour n'impote quèle réèle positife d et pour n'importe quel point P du plan un point P' de couleur P avec PP'=d, c'est utile?

Toujours pas : le contraire de
"pour tout coloriage pour tout d il existe un couple de points P et P' de même couleur à la distance d l'un de l'autre" est :
"il existe un coloriage tel qu'il existe une valeur de d telle qu'il n'existe pas de couples de points P et P' de même couleur à la distance d l'un de l'autre"
et n'est pas :
"il existe un coloriage ou pour tout d et pour tout point P il n'existe pas de point P' de même couleur que P et tel que PP'=d"


Citation:
Posté par JC_Master
Parce que j'ai une configuration qui respecte sa ...

Je te rappelle qu'il s'agit de trois couleurs ! Et de toutes façons, il ne faut pas chercher UNE configuration, il faut montrer que "QUELLE QUE soit la configuration..."

P.S.
Citation:
Posté par JC_Master
Non j'ai mit le lien la place de l'image, pour ne pas encombrer inutilement le forum.

Je pense que cela n'encombre pas plus le forum de montrer l'image, car à mon avis, elle est simplement présente au niveau du forum par son lien. Cela encombre l'écran, bien sûr, mais comme l'image est indispensable, c'est un mal nécessaire !


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par scelerat
Il me semble qu'on doit pouvoir faire avec 8, en prenant des cercles de diametre d centres sur un reseau regulier carre de maille d, dont on peint l'interieur et la moitie de la circonference avec les 4 premieres couleurs, puis en peignant l'interieur et la moitie de la peripherie des etoiles qui restent avec les 4 autres ?


Ca a l'air de marcher aussi a 8 pour la distance \sqrt{10} avec des croix constituees d'un carre unite, et le meme sur chacun de ses cotes. ( +, en quelque sorte)


Posted by: Galt

Je peux poster la preuve pour 3 couleurs, si vous en avez assez de la chercher.










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